10. Oscillateur harmonique
369
harmoniques, que l’on retrouvera en mécanique quantique. Un choix possible
pour le potentiel vecteur est
A =
1
2
B × r
(10.64)
et donc A x = −yB/2, A y = xB/2, A z =0 . Ce choix n’est évidemment pas
unique et un autre choix fréquent
8
est A x = A z =0 ,A y = xB. Calculons le
commutateur des composantes de la vitesse
[ ˙
X, ˙
Y ]=
1
m 2
P x +
q
2
YB,P y −
q
2
XB
=
1
m 2
qB
2
−[P x ,X]+[Y, P y ]
= −
iω
m
I
(10.65)
Comme l’expression de H peut s’écrire
H =
1
2
m
˙
X
2 + ˙
Y
2
(10.66)
on se ramène à (10.9) en définissant
ˆ
Q =
m
ω
˙
Y
ˆ
P =
m
ω
˙
X
et
H =
1
2
ω
ˆ
P
2 + ˆ
Q
2
(10.67)
Les niveaux d’énergie sont étiquetés par un entier n
E n = ω
n +
1
2
n =0, 1, 2, ...
(10.68)
Ces niveaux sont appelés niveaux de Landau. Par analogie avec le cas classique,
on définit un opérateur R
2
qui est l’analogue du rayon carré ρ
2
de la trajectoire
circulaire
R
2 =
1
ω 2
˙
X
2 + ˙
Y
2
=
2H
mω 2
(10.69)
La valeur moyenne de R
2
dans l’état |n est
R
2 n =
2
mω 2 n|H|n =
2
mω
n +
1
2
Si la particule est dans un état propre de H, la dispersion sur R
2
est nulle.
Le flux Φ du champ magnétique à travers une orbite est quantifié en unités
de h/|q|.E ne ff e t ,
Φ=πR
2 n B =
h
|q|
n +
1
2
8. C’est par exemple le choix de Landau et Lifschitz [1966], § 111.
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harmoniques, que l’on retrouvera en mécanique quantique. Un choix possible
pour le potentiel vecteur est
A =
1
2
B × r
(10.64)
et donc A x = −yB/2, A y = xB/2, A z =0 . Ce choix n’est évidemment pas
unique et un autre choix fréquent
8
est A x = A z =0 ,A y = xB. Calculons le
commutateur des composantes de la vitesse
[ ˙
X, ˙
Y ]=
1
m 2
P x +
q
2
YB,P y −
q
2
XB
=
1
m 2
qB
2
−[P x ,X]+[Y, P y ]
= −
iω
m
I
(10.65)
Comme l’expression de H peut s’écrire
H =
1
2
m
˙
X
2 + ˙
Y
2
(10.66)
on se ramène à (10.9) en définissant
ˆ
Q =
m
ω
˙
Y
ˆ
P =
m
ω
˙
X
et
H =
1
2
ω
ˆ
P
2 + ˆ
Q
2
(10.67)
Les niveaux d’énergie sont étiquetés par un entier n
E n = ω
n +
1
2
n =0, 1, 2, ...
(10.68)
Ces niveaux sont appelés niveaux de Landau. Par analogie avec le cas classique,
on définit un opérateur R
2
qui est l’analogue du rayon carré ρ
2
de la trajectoire
circulaire
R
2 =
1
ω 2
˙
X
2 + ˙
Y
2
=
2H
mω 2
(10.69)
La valeur moyenne de R
2
dans l’état |n est
R
2 n =
2
mω 2 n|H|n =
2
mω
n +
1
2
Si la particule est dans un état propre de H, la dispersion sur R
2
est nulle.
Le flux Φ du champ magnétique à travers une orbite est quantifié en unités
de h/|q|.E ne ff e t ,
Φ=πR
2 n B =
h
|q|
n +
1
2
8. C’est par exemple le choix de Landau et Lifschitz [1966], § 111.