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Physique quantique : Fondements
Mais, d’une part,
∂ϕ
∂t
=
∂
∂t
exp
iqΛ
ϕ
′
=Ω
−1
iq
∂Λ
∂t
ϕ
′ +
∂ϕ
′
∂t
et, d’autre part,
1
2m
(−i
D)
2 ϕ =
1
2m
(−i
D)
2 Ω
−1 ϕ
′ =Ω
−1 1
2m
(−i
D
′ )
2 ϕ
′
cequidonne,enmettan tΩ
−1
en facteur dans les deux membres de l’équation
de Schrödinger pour ϕ
′
i
∂ϕ
′
∂t
=
1
2m
(−i
D
′ )
2 ϕ
′ + qV
′ ϕ
′
On vérifie également (exercice 10.4.6) que j obéit à l’équation de continuité
∂|ϕ|
2
∂t
+
∇· j =0
(10.62)
10.3.2 Champ magnétique uniforme : niveaux de Landau
Comme application, étudions le mouvement d’une particule chargée dans
un champ magnétique uniforme et constant. Nous ignorons les effets de spin :
l’interaction d’un moment magnétique lié au spin a déjà été étudiée au § 3.2.5.
Nous supposons
B dirigé suivant Oz, et afin de simplifier la discussion, nous
supposons également que le mouvement est confiné au plan xOy.C ec a se s t
d’ailleurs d’un grand intérêt pratique, car on sait réaliser des structures bidimensionnelles, avec des applications importantes comme l’effet Hall quantique
6 . Le mouvement d’une particule classique sous l’action de la force
F = qq v ×
B
se fait alors sur un cercle
7 de rayon ρ = mv/(|q|B) avec une fréquence ω =
|q|B/m, ou fréquence de Larmor (cf. (3.61)). Si q<0, ce que nous supposerons
pour fixer les idées, le cercle est parcouru dans le sens trigonométrique. Le
mouvement est donc
x(t)=x 0 + ρ cos ωt
y(t)=y 0 + ρ sin ωt
(10.63)
où x 0 et y 0 sont les coordonnées du centre du cercle. La projection de ce
mouvement circulaire uniforme sur les axes Ox et Oy donne deux oscillateurs
6. cf. Taylor et Heinonen [2002], chapitre 10.
7. Si le mouvement est à trois dimensions, la trajectoire est une hélice qui se projette
suivant un cercle de rayon ρ parcouru à la fréquence ω dans le plan xOy.
Physique quantique : Fondements
Mais, d’une part,
∂ϕ
∂t
=
∂
∂t
exp
iqΛ
ϕ
′
=Ω
−1
iq
∂Λ
∂t
ϕ
′ +
∂ϕ
′
∂t
et, d’autre part,
1
2m
(−i
D)
2 ϕ =
1
2m
(−i
D)
2 Ω
−1 ϕ
′ =Ω
−1 1
2m
(−i
D
′ )
2 ϕ
′
cequidonne,enmettan tΩ
−1
en facteur dans les deux membres de l’équation
de Schrödinger pour ϕ
′
i
∂ϕ
′
∂t
=
1
2m
(−i
D
′ )
2 ϕ
′ + qV
′ ϕ
′
On vérifie également (exercice 10.4.6) que j obéit à l’équation de continuité
∂|ϕ|
2
∂t
+
∇· j =0
(10.62)
10.3.2 Champ magnétique uniforme : niveaux de Landau
Comme application, étudions le mouvement d’une particule chargée dans
un champ magnétique uniforme et constant. Nous ignorons les effets de spin :
l’interaction d’un moment magnétique lié au spin a déjà été étudiée au § 3.2.5.
Nous supposons
B dirigé suivant Oz, et afin de simplifier la discussion, nous
supposons également que le mouvement est confiné au plan xOy.C ec a se s t
d’ailleurs d’un grand intérêt pratique, car on sait réaliser des structures bidimensionnelles, avec des applications importantes comme l’effet Hall quantique
6 . Le mouvement d’une particule classique sous l’action de la force
F = qq v ×
B
se fait alors sur un cercle
7 de rayon ρ = mv/(|q|B) avec une fréquence ω =
|q|B/m, ou fréquence de Larmor (cf. (3.61)). Si q<0, ce que nous supposerons
pour fixer les idées, le cercle est parcouru dans le sens trigonométrique. Le
mouvement est donc
x(t)=x 0 + ρ cos ωt
y(t)=y 0 + ρ sin ωt
(10.63)
où x 0 et y 0 sont les coordonnées du centre du cercle. La projection de ce
mouvement circulaire uniforme sur les axes Ox et Oy donne deux oscillateurs
6. cf. Taylor et Heinonen [2002], chapitre 10.
7. Si le mouvement est à trois dimensions, la trajectoire est une hélice qui se projette
suivant un cercle de rayon ρ parcouru à la fréquence ω dans le plan xOy.