10. Oscillateur harmonique
367
Sachant que l’opérateur vitesse est donné par le commutateur de
R avec le hamiltonien, examinons sa composante x. D’après (7.61) et l’expression (10.60)
de d
R/dt
˙
X =
i
[H, X]=
1
m
(P x − qA x )
ce qui donne, en reprenant le raisonnement de la section 7.4, la forme la plus
générale de H
H =
1
2m
P − q
A
2
+ qV =
1
2m
−i
∇−q
A
2
+ qV =
1
2m
(−i
D)
2 + qV
(10.61)
où V = qV est une fonction arbitraire de
R et t. Exiger l’invariance de jauge
locale du courant permet de retrouver la forme générique (7.73) du hamiltonien compatible avec l’invariance galiléenne. La substitution −i
∇→− i
D
dans l’équation de Schrödinger, écrite dans un premier temps en l’absence de
champ électromagnétique, et qui permet d’écrire cette équation en présence
d’un tel champ est appelée couplage minimal
5
. La prescription du couplage
minimal s’étend aux théories de jauge non abéliennes (exercice 10.4.7) et permet d’écrire toutes les interactions du modèle standard de la physique des
particules élémentaires entre les particules de spin 1/2 (“particules de matière”) et celles de spin 1 (bosons de jauge) définies au § 1.1.3.
En mécanique analytique (exercice 7.5.8), on montre que le hamiltonien
dont se déduit la force de Lorentz (1.11) est
H cl =
1
2m
p − q
A
2
+ qV
Un autre façon d’obtenir (10.61) est de partir de cette forme classique et d’utiliser le principe de correspondance pour remplacer
p et r par des opérateurs :
p →
P = −i
∇,, r →
R.
Si ϕ est solution de l’équation de Schrödinger dans le potentiel (
A, V ),
alors ϕ
′
en sera solution dans le potentiel transformé de jauge (
A
′ , V
′ ) (10.58)
où
V
′ = V +
∂Λ
∂t
lorsque Λ dépend du temps. En effet, l’équation de Schrödinger pour ϕ s’écrit
i
∂ϕ
∂t
=
1
2m
(−i
D)
2 ϕ + qVϕ
5. Nous avons montré au § 7.4.2 que l’interaction W = −γ
S ·
B entre un moment
magnétique de spin et un champ magnétique découlait du couplage minimal appliqué à
une équation d’onde invariante de Galilée, avec γ = qe/me. Cette interaction se déduit
aussi de l’équation relativiste de Dirac et de l’application de la prescription du couplage
minimal à cette équation, qui donne le même le facteur gyromagnétique γ (§ 19.3.3). Les
corrections de type moment magnétique anormal se déduisent du couplage minimal appliqué
à l’électrodynamique quantique.
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Sachant que l’opérateur vitesse est donné par le commutateur de
R avec le hamiltonien, examinons sa composante x. D’après (7.61) et l’expression (10.60)
de d
R/dt
˙
X =
i
[H, X]=
1
m
(P x − qA x )
ce qui donne, en reprenant le raisonnement de la section 7.4, la forme la plus
générale de H
H =
1
2m
P − q
A
2
+ qV =
1
2m
−i
∇−q
A
2
+ qV =
1
2m
(−i
D)
2 + qV
(10.61)
où V = qV est une fonction arbitraire de
R et t. Exiger l’invariance de jauge
locale du courant permet de retrouver la forme générique (7.73) du hamiltonien compatible avec l’invariance galiléenne. La substitution −i
∇→− i
D
dans l’équation de Schrödinger, écrite dans un premier temps en l’absence de
champ électromagnétique, et qui permet d’écrire cette équation en présence
d’un tel champ est appelée couplage minimal
5
. La prescription du couplage
minimal s’étend aux théories de jauge non abéliennes (exercice 10.4.7) et permet d’écrire toutes les interactions du modèle standard de la physique des
particules élémentaires entre les particules de spin 1/2 (“particules de matière”) et celles de spin 1 (bosons de jauge) définies au § 1.1.3.
En mécanique analytique (exercice 7.5.8), on montre que le hamiltonien
dont se déduit la force de Lorentz (1.11) est
H cl =
1
2m
p − q
A
2
+ qV
Un autre façon d’obtenir (10.61) est de partir de cette forme classique et d’utiliser le principe de correspondance pour remplacer
p et r par des opérateurs :
p →
P = −i
∇,, r →
R.
Si ϕ est solution de l’équation de Schrödinger dans le potentiel (
A, V ),
alors ϕ
′
en sera solution dans le potentiel transformé de jauge (
A
′ , V
′ ) (10.58)
où
V
′ = V +
∂Λ
∂t
lorsque Λ dépend du temps. En effet, l’équation de Schrödinger pour ϕ s’écrit
i
∂ϕ
∂t
=
1
2m
(−i
D)
2 ϕ + qVϕ
5. Nous avons montré au § 7.4.2 que l’interaction W = −γ
S ·
B entre un moment
magnétique de spin et un champ magnétique découlait du couplage minimal appliqué à
une équation d’onde invariante de Galilée, avec γ = qe/me. Cette interaction se déduit
aussi de l’équation relativiste de Dirac et de l’application de la prescription du couplage
minimal à cette équation, qui donne le même le facteur gyromagnétique γ (§ 19.3.3). Les
corrections de type moment magnétique anormal se déduisent du couplage minimal appliqué
à l’électrodynamique quantique.