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Physique quantique : Fondements
du courant d’un principe d’invariance de jauge locale, qui pourra sembler a
priori arbitraire. En fait, ce principe est très général, car on pense aujourd’hui
que toutes les interactions fondamentales de la physique se déduisent d’un tel
principe (exercice 10.4.7). Une transformation de jauge locale s’obtient en
remplaçant la constante Λ dans (10.54) par une fonction de r et de t
ϕ( r, t) → ϕ
′ ( r, t)=exp
−i
q
Λ( r, t)
ϕ( r, t)=Ω( r, t)ϕ( r, t)
(10.55)
Cette transformation est manifestement unitaire. Il est immédiat de vérifier
que le courant (10.53) n’est pas invariant dans une transformation de jauge
locale, car le gradient agit sur exp(iqΛ/). Nous allons modifier l’expression
du courant en substituant au gradient
∇ la dérivée covariante
D
−i
D = −i
∇−q
A
(10.56)
Contrairement à la dérivée ordinaire, la dérivée covariante a une action simple
lorsque l’on effectue une transformation de jauge locale (10.55)
−i
Dϕ = −i
D(Ω
−1 ϕ
′ )=( −i
∇−q
A)exp
i
q
Λ( r, t)
ϕ
′ ( r, t)
=Ω
−1 (−i
∇−q
A + q
∇Λ)ϕ
′
=Ω
−1 (−i
∇−q
A
′ )ϕ
′ =Ω
−1 (−i
D
′ ϕ
′ )
(10.57)
où
D
′ est la dérivée covariante calculée avec le potentiel vecteur transformé
A
′ =
A −
∇Λ
(10.58)
Les dérivées covariantes
D et
D
′ sont physiquement équivalentes car
A est
A
′ le sont. L’expression du courant devient invariante par transformation de
jauge locale si, au lieu de la dérivée ordinaire, on se sert de la dérivée covariante
j ( r, t)=Re
ϕ
∗ ( r, t)
−i
m
∇−
q
m
A
ϕ( r, t)
=Re
ϕ
∗ ( r, t)
−i
m
Dϕ
(10.59)
En effet, si l’on exprime ϕ en fonction de ϕ
′ en utilisant (10.55) et (10.59)
j ( r, t)=R e
ϕ
′ ∗ ( r, t)Ω Ω
−1
−i
m
D
′ ϕ
′
=R e
ϕ
′ ∗ ( r, t)
−i
m
D
′ ϕ
′
= j
′ ( r, t)
Ceci suggère que l’opérateur vitesse d
R/dt n’est pas simplement d
R/dt =
P/m = −(i/m)
∇ mais plutôt
d
R
dt
= −
i
m
D = −
i
m
∇−
q
m
A
(10.60)