10. Oscillateur harmonique
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10.3 Mouvement dans un champ magnétique
10.3.1 Invariance de jauge locale
Une application importante de l’oscillateur harmonique concerne le mouvement d’une particule de charge q dans un champ magnétique constant.
Établissons en premier lieu la forme de l’interaction entre une particule chargée et un champ électromagnétique classique (
E,
B). En électrodynamique
classique, la densité de charge électrique ρ em ( r, t) et la densité de courant
j em ( r, t)=ρ em ( r, t) v( r, t)
(10.51)
vérifient l’équation de continuité
∂ρ em
∂t
+
∇· j em =0
(10.52)
Nous souhaitons généraliser l’expression de ce courant à la physique quantique.
Nous avons établi au chapitre 8 l’expression du courant de particules (8.123)
j ( r, t)=R e
ϕ
∗ ( r, t)
−i
m
∇
ϕ( r, t)
=
ϕ
∗ ( r, t)
−i
2m
∇
ϕ( r, t) − ϕ( r, t)
−i
2m
∇
ϕ
∗ ( r, t)
(10.53)
Le courant électromagnétique créé par le mouvement d’une particule quantique chargée de charge q devrait être a priori j em = q j, la densité de charge
ρ em étant q|ϕ|
2
. Cette forme du courant de particules obéit à l’équation de
continuité lorsque la fonction d’onde ϕ( r, t) vérifie l’équation de Schrödinger
i
∂ϕ
∂t
=
−
2
2m
∇
2 + V
ϕ
et le courant électromagnétique associé
ρ em = q|ϕ|
2 ,, j em = q j
obéit à (10.52). Cependant, nous allons voir que l’expression (10.53) du
courant doit être modifiée en présence d’un potentiel vecteur. L’expression
(10.53) du courant est invariante dans une transformation de jauge globale,
qui consiste à multiplier ϕ par un facteur de phase
ϕ( r, t) → ϕ
′ ( r, t)=exp
−i
q
Λ
ϕ( r, t)=Ωϕ( r, t)
(10.54)
où Λ est un nombre réel. Lorsque Λ est une fonction de r et de t,o na
affaire à une transformation de jauge locale. Nous allons déduire la forme