364
Physique quantique : Fondements
Les opérateurs E et E
†
vérifient
EE
† = IE
† E = I −|00|
(10.48)
Les états de phase |φ définis par
|φ =
∞
n=0
e
inφ |n
(10.49)
sont vecteurs propres de E avec la valeur propre exp(iφ)
E|φ = e
iφ |φ
Comme l’opérateur E n’est pas hermitien, les états |φ ne sont pas orthogonaux, mais ils vérifient la relation de fermeture
dφ
2π
|φφ| = I
Compte tenu de la représentation a = AE et de a|z = z|z, on s’attend à ce
que la distribution p(φ) de φ soit centrée autour de θ pour un état cohérent
|z, z = |z| exp(iθ). Cherchons cette distribution p(φ),
p(φ)=
1
2π
||φ|z|
2
où le facteur (2π) assure que p(φ) est normalisé à l’unité pour une distribution
uniforme dans l’intervalle [0, 2π]. L’amplitude φ|z est donnée par
φ|z = e
−|z|
2 /2
∞
n=0
e
−in(φ−θ) |z|
n/2
√
n!
Pour |z|≫1, on peut utiliser la formule de Stirling
n! ≃
n
e
n √
2πn
et écrire
e
−|z|
2 /2 |z|
n/2
√
n!
≃
1
2π|z| 2
1/4
exp
−
1
4|z| 2 (n −|z|
2 )
2
On peut en outre remplacer la somme sur n par une intégrale. L’amplitude
φ|z est alors donnée par la tranformée de Fourier d’une gaussienne
φ|z≃
8π|z|
2 1/4 e
−|z|
2 (φ−θ)
2
et p(φ) s’en déduit immédiatement
p(φ) ≃
2|z| 2
π
e
−2|z|
2 (φ−θ)
2
(10.50)
On vérifie que
p(φ)dφ =1 . L’équation (10.50) montre que la phase φ est
bien centrée autour de θ avec une dispersion ∆ z φ =1 /2|z|, en accord avec
(10.46).