10. Oscillateur harmonique
363
(b)
ˆ
p
ˆ
q
Δ z ˆ
Q
Δ z ˆ
P
Δ φ
Δ φ
z 0 √2
z 0
z
ˆ
P
Δ z ˆ
Q
(a)
√2
Δ
Fig. 10.1 – Représentation d’un état cohérent à t =0(a) et t = π/2ω (b).
∆ z φ =
1
√
2
1
|z 0 |
√
2
=
1
2|z 0 |
Par ailleurs, la loi de Poisson (10.34) relie |z 0 | et la fluctuation ∆ z N de N
dans l’état cohérent : comme nous l’avons montré, ∆ z N = |z 0 |,d es o r t eq u e
le produit des dispersions ∆ z φ et ∆ z N dans un état cohérent |z obéit à
∆ z φ ∆ z N ≃
1
2
(10.46)
Cette relation rappelle bien sûr une inégalité de Heisenberg, et l’analogie avec
la relation de commutation canonique [ ˆ
Q, ˆ
P ]=iI suggère qu’il pourrait exister
un opérateur de phase Φ canoniquement conjugué de N et obéissant à [Φ,N]=
iI. En fait, il est impossible de construire un tel opérateur de phase qui soit
auto-adjoint, en raison la périodicité de la variable φ (cf. l’exercice 6.4.3). On
montre dans l’exercice 10.4.5 que l’opérateur d’annihilation possède une quasireprésentation en module et phase, a = A exp(iΦ) ; cependant, si exp(iΦ) (non
unitaire !) existe, Φ lui-même n’existe pas comme opérateur hermitien (plus
exactement auto-adjoint). L’opérateur exp(iΦ) sera noté E,a v e c
E =
∞
n=0
|nn +1|
E
† =
∞
n=0
|n +1n|
(10.47)