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Physique quantique : Fondements
pendant un intervalle de temps [t 1 ,t 2 ] à une force classique F (t),ilsetrouvera
pour t>t 2 dans un état cohérent déterminé par la transformée de Fourier
˜
F (ω) de F (t) (exercice 10.4.4)
˜
F (ω)=
t2
t1
e
iωt F (t)dt
(10.43)
Nous allons maintenant préciser la correspondance entre le mouvement classique et la description quantique par un état cohérent. Nous avons déjà vu
que la trajectoire classique dans le plan {q(t),p(t)} était déterminée par la
valeur initiale z 0 de z (cf. (10.27)) ; z 0 est un nombre complexe |z 0 | exp(iθ 0 ),
où le module |z 0 | fixe l’énergie de l’oscillateur dans le cas classique. Dans le
cas quantique d’un oscillateur dans un état cohérent |z 0 , |z 0 | fixe la valeur
moyenne de l’énergie. Il serait également intéressant de pouvoir donner une
interprétation de la phase φ(t)=θ 0 − ωt. Pour ce faire, examinons le portrait de phase de l’oscillateur, c’est-à-dire la trajectoire des valeurs moyennes
dans le plan {q, p}. Dans le cas d’un état cohérent, ce portrait de phase est
donné par les valeurs moyennes Q(t) et P (t) dans l’état cohérent |z(t),
avec z(t)=z 0 exp(−iωt), et d’après (10.37) en prenant θ 0 =0pour simplifier
les formules
z(t)|Q|z(t) =
2
mω
|z 0 | cos ωt
z(t)|P |z(t) = −
√
2mω |z 0 | sin ωt
(10.44)
Le point {{Q(t), P (t)} décrit donc une ellipse. Pour se ramener à une trajectoire circulaire, il suffit d’utiliser les opérateurs sans dimension ˆ
Q et ˆ
P
(10.4)
ˆ
Q(t)=
√
2 |z 0 | cos ωt
P (t)=−
√
2 |z 0 | sin ωt
(10.45)
Le point {{ ˆ
Q(t), ˆ
P (t)} décrit un cercle de rayon
√
2 |z 0 | dans le plan {ˆ q, ˆ
p}.
D’après (10.39), les dispersions ∆ z ˆ
Q et ∆ z ˆ
P sont indépendantes de z
∆ z ˆ
Q =∆ z ˆ
P =
1
√
2
On observe qu’au temps t =0, le point représentatif du mouvement se trouve
en {ˆ q =
√
2 |z 0 |, ˆ
p =0}, avec une dispersion horizontale et verticale de l’ordre
de 1/
√
2.A ut e m p st = π/2ω,i ls et r o u v ee n{ˆ q =0 , ˆ
p = −
√
2 |z 0 |} avec la
même dispersion (figure 10.1). Le point représentatif fluctue donc autour de
la position moyenne définie par (10.45). Ceci correspond à des fluctuations du
rayon de la trajectoire et de sa phase : le rayon fluctue autour de sa valeur
moyenne |z 0 |
√
2 et la phase autour de sa valeur moyenne φ = −ωt. Cette
fluctuation de phase peut s’écrire
Physique quantique : Fondements
pendant un intervalle de temps [t 1 ,t 2 ] à une force classique F (t),ilsetrouvera
pour t>t 2 dans un état cohérent déterminé par la transformée de Fourier
˜
F (ω) de F (t) (exercice 10.4.4)
˜
F (ω)=
t2
t1
e
iωt F (t)dt
(10.43)
Nous allons maintenant préciser la correspondance entre le mouvement classique et la description quantique par un état cohérent. Nous avons déjà vu
que la trajectoire classique dans le plan {q(t),p(t)} était déterminée par la
valeur initiale z 0 de z (cf. (10.27)) ; z 0 est un nombre complexe |z 0 | exp(iθ 0 ),
où le module |z 0 | fixe l’énergie de l’oscillateur dans le cas classique. Dans le
cas quantique d’un oscillateur dans un état cohérent |z 0 , |z 0 | fixe la valeur
moyenne de l’énergie. Il serait également intéressant de pouvoir donner une
interprétation de la phase φ(t)=θ 0 − ωt. Pour ce faire, examinons le portrait de phase de l’oscillateur, c’est-à-dire la trajectoire des valeurs moyennes
dans le plan {q, p}. Dans le cas d’un état cohérent, ce portrait de phase est
donné par les valeurs moyennes Q(t) et P (t) dans l’état cohérent |z(t),
avec z(t)=z 0 exp(−iωt), et d’après (10.37) en prenant θ 0 =0pour simplifier
les formules
z(t)|Q|z(t) =
2
mω
|z 0 | cos ωt
z(t)|P |z(t) = −
√
2mω |z 0 | sin ωt
(10.44)
Le point {{Q(t), P (t)} décrit donc une ellipse. Pour se ramener à une trajectoire circulaire, il suffit d’utiliser les opérateurs sans dimension ˆ
Q et ˆ
P
(10.4)
ˆ
Q(t)=
√
2 |z 0 | cos ωt
P (t)=−
√
2 |z 0 | sin ωt
(10.45)
Le point {{ ˆ
Q(t), ˆ
P (t)} décrit un cercle de rayon
√
2 |z 0 | dans le plan {ˆ q, ˆ
p}.
D’après (10.39), les dispersions ∆ z ˆ
Q et ∆ z ˆ
P sont indépendantes de z
∆ z ˆ
Q =∆ z ˆ
P =
1
√
2
On observe qu’au temps t =0, le point représentatif du mouvement se trouve
en {ˆ q =
√
2 |z 0 |, ˆ
p =0}, avec une dispersion horizontale et verticale de l’ordre
de 1/
√
2.A ut e m p st = π/2ω,i ls et r o u v ee n{ˆ q =0 , ˆ
p = −
√
2 |z 0 |} avec la
même dispersion (figure 10.1). Le point représentatif fluctue donc autour de
la position moyenne définie par (10.45). Ceci correspond à des fluctuations du
rayon de la trajectoire et de sa phase : le rayon fluctue autour de sa valeur
moyenne |z 0 |
√
2 et la phase autour de sa valeur moyenne φ = −ωt. Cette
fluctuation de phase peut s’écrire