10. Oscillateur harmonique
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que l’inégalité de Heisenberg est saturée dans un état cohérent : ∆ z Q ∆ z P =
/2 et que pour |z|≫1
∆ z H
H
≃
1
|z|
→ 0s i|z|→∞
En résumé, pour |z|≫1, les dispersions autour des valeurs moyennes sont les
plus faibles possibles.
10.2.2 Opérateurs de déplacement et de phase
Au lieu de construire les états cohérents à partir de (10.31), il est souvent
commode d’utiliser l’opérateur de déplacement D(z) défini par
D(z)=exp(−z
∗ a + za
† )=exp
−
1
2
|z|
2
exp(za
† )e x p ( −z
∗ a)
(10.40)
où nous avons utilisé (2.71) pour obtenir la seconde expression dans (10.40).
Cette seconde expression montre que l’action de D(z) sur l’état |0 donne bien
l’état cohérent |z
D(z)|0 =exp
−
1
2
|z|
2
exp(za
† ) |0 = |z
(10.41)
L’opérateur conjugué hermitien de D(z) est D(−z)
D
† (z)=exp
−
1
2
|z|
2
exp(−za
† )e x p ( z
∗ a)=D(−z)
ce qui montre que D(z) est unitaire : D
† (z)D(z)=I.
La propriété la plus utile de l’opérateur de déplacement est la suivante :
le produit de deux opérateurs D(z 1 ) et D(z 2 ) est D(z 1 + z 2 ) à un facteur de
phase près. Pour le montrer, définissons les opérateurs A 1 et A 2 par
A 1 = z 1 a
† − z
∗
1 aA 2 = z 2 a
† − z
∗
2 a
et calculons leur commutateur
[A 1 ,A 2 ]=z 1 z
∗
2 − z
∗
1 z 2 =2i Im(z 1 z
∗
2 )
Utilisons cette fois (2.72)
D(z 1 )D(z 2 )=e x p ( A 1 )exp(A 2 )
=e x p [ i Im(z 1 z
∗
2 )exp
(z 1 + z 2 ) a
† − (z
∗
1 + z
∗
2 ) a
=e x p [ i Im(z 1 z
∗
2 )]D(z 1 + z 2 )
(10.42)
Cette propriété permet de montrer simplement le résultat important suivant :
si un oscillateur harmonique initialement dans son état fondamental est couplé