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Physique quantique : Fondements
Une conséquence directe de (10.36) est que les “éléments de matrice diagonaux” z|A|z suffisent à définir complètement un opérateur A (exercice 10.4.3).
Ces propriétés permettent de calculer aisément les valeurs moyennes
z|Q|z =
2mω
z|
a + a
†
|z =
2
mω
Re z
z|P |z =
√
2mω Im z
(10.37)
z|H|z = ω
|z|
2 +
1
2
Ceci est le résultat classique (10.30), si l’on ignore l’énergie de point zéro ω/2
dans l’expression de H. La valeur moyenne de N est z|N |z = |z|
2 ,résultat
que l’on prouve directement à partir de (10.10) ou de la distribution de Poisson (10.34). De plus, si l’état de l’oscillateur harmonique est un état cohérent
au temps t =0, cette propriété est conservée par l’évolution temporelle. Supposons en effet que l’oscillateur se trouve au temps t =0dans l’état cohérent
|ϕ(t =0) = |z 0 et calculons |ϕ(t)
|ϕ(t) = e
−iHt/ |z 0 = e
−iωt/2 e
−iωNt |z 0 = e
−iωt/2 |z 0 e
−iωt
(10.38)
où nous avons utilisé (11.35). Au facteur de phase exp(−iωt/2) près, on retrouve l’évolution classique z(t)=z 0 exp(−iωt). Si l’on part d’un état cohérent
au temps t =0 , l’évolution des valeurs moyennes Q, P et H suit très
exactement l’évolution classique de q(t), p(t) et E. Nous avons donc montré
que les valeurs moyennes dans un état cohérent suivent les lois classiques.
Il est également instructif de calculer les dispersions. Évaluons par exemple
Q
2 dans l’état cohérent |z
Q
2 z =
2mω
z|a
2 +(a
† )
2 + aa
† + a
† a|z
=
2mω
z|a
2 +(a
† )
2 +2a
† a +1|z
=
2mω
1+(z + z
∗ )
2
=
2mω
1+4(Rez)
2
Un calcul analogue (exercice 10.4.3) donne P
2 et H
2 , d’où l’on déduit les
dispersions
4 dans l’état cohérent |z
∆ z Q =
2mω
∆ z P =
mω
2
∆ z H = ω|z|
(10.39)
La dispersion ∆ z H peut être obtenue en utilisant ∆H = ω∆ z N et ∆ z N =
∆n = |z| d’après (10.34) : on peut aussi calculer directement z|N
2 |z.Onnote
4. Nous utilisons indifféremment pour les dispersions les notations (∆P, ∆Q)ou(∆p, ∆q)
car aucune ambiguïté n’est possible.
Physique quantique : Fondements
Une conséquence directe de (10.36) est que les “éléments de matrice diagonaux” z|A|z suffisent à définir complètement un opérateur A (exercice 10.4.3).
Ces propriétés permettent de calculer aisément les valeurs moyennes
z|Q|z =
2mω
z|
a + a
†
|z =
2
mω
Re z
z|P |z =
√
2mω Im z
(10.37)
z|H|z = ω
|z|
2 +
1
2
Ceci est le résultat classique (10.30), si l’on ignore l’énergie de point zéro ω/2
dans l’expression de H. La valeur moyenne de N est z|N |z = |z|
2 ,résultat
que l’on prouve directement à partir de (10.10) ou de la distribution de Poisson (10.34). De plus, si l’état de l’oscillateur harmonique est un état cohérent
au temps t =0, cette propriété est conservée par l’évolution temporelle. Supposons en effet que l’oscillateur se trouve au temps t =0dans l’état cohérent
|ϕ(t =0) = |z 0 et calculons |ϕ(t)
|ϕ(t) = e
−iHt/ |z 0 = e
−iωt/2 e
−iωNt |z 0 = e
−iωt/2 |z 0 e
−iωt
(10.38)
où nous avons utilisé (11.35). Au facteur de phase exp(−iωt/2) près, on retrouve l’évolution classique z(t)=z 0 exp(−iωt). Si l’on part d’un état cohérent
au temps t =0 , l’évolution des valeurs moyennes Q, P et H suit très
exactement l’évolution classique de q(t), p(t) et E. Nous avons donc montré
que les valeurs moyennes dans un état cohérent suivent les lois classiques.
Il est également instructif de calculer les dispersions. Évaluons par exemple
Q
2 dans l’état cohérent |z
Q
2 z =
2mω
z|a
2 +(a
† )
2 + aa
† + a
† a|z
=
2mω
z|a
2 +(a
† )
2 +2a
† a +1|z
=
2mω
1+(z + z
∗ )
2
=
2mω
1+4(Rez)
2
Un calcul analogue (exercice 10.4.3) donne P
2 et H
2 , d’où l’on déduit les
dispersions
4 dans l’état cohérent |z
∆ z Q =
2mω
∆ z P =
mω
2
∆ z H = ω|z|
(10.39)
La dispersion ∆ z H peut être obtenue en utilisant ∆H = ω∆ z N et ∆ z N =
∆n = |z| d’après (10.34) : on peut aussi calculer directement z|N
2 |z.Onnote
4. Nous utilisons indifféremment pour les dispersions les notations (∆P, ∆Q)ou(∆p, ∆q)
car aucune ambiguïté n’est possible.