10. Oscillateur harmonique
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Pour le montrer, on peut utiliser directement (10.31), mais on peut aussi
se servir de l’identité (2.70) de l’exercice 2.5.11 qui s’écrit ici
e
a
† z a e
−a
† z
= a + z[a
† ,a]=a − z
e
a
† z a =( a − z)e
a
† z
Il suffit d’appliquer les deux membres de cette dernière équation sur le
vecteur |0 pour obtenir (10.32).
• Le vecteur |z est unitaire : z|z =1et le module carré du produit
scalaire z|z
′
|z|z
′ |
2 =exp
−|z − z
′ |
2
(10.33)
est une mesure de la “distance” entre les deux états cohérents.
• La distribution des valeurs de n suit une loi de Poisson
p(n)=||n|z|
2 =
|z|
2n
n!
e
−|z|
2
(10.34)
ce qui donne pour la valeur moyenne n = |z|
2 et pour la dispersion
∆n = |z|.
• L’action de exp(λN ) sur un état cohérent, où λ est un nombre imaginaire
pur (| exp λ| =1), redonne un état cohérent
e
λN |z = e
λN e
−|z|
2 /2
∞
n=0
z
n
√
n!
|n = e
−|z|
2 /2
∞
n=0
z
n
√
n!
e
λn |n
= e
−|z|
2 /2
∞
n=0
(e
λ z)
n
√
n!
|n = |e
λ z
(10.35)
La relation | exp λ| =1a été utilisée uniquement pour obtenir la dernière
égalité.
• Les états cohérents forment une base “surcomplète”
dRe z dIm z
π
|zz| = I
(10.36)
Pour montrer cette identité, on la prend en sandwich entre le bra n| et
le ket |m ; posant z = ρ exp(iθ)
dRe z dIm z
π
n|zz|m =
∞
0
ρ dρ
2π
0
dθ
π
z
n z
∗m
√
n!m!
e
−ρ
2
=
∞
0
ρ dρ
2π
0
dθ
π
ρ
n+m
√
n!m!
e
i(n−m)θ e
−ρ
2
= δ nm
où nous avons utilisé le changement de variables ρ
2 = u et
∞
0
duu
n e
−u = n!