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Physique quantique : Fondements
bien les propriétés annoncées. Soit z(t), un nombre complexe, combinaison de
q(t) et p(t)
z(t)=
mω
2
q(t)+
i
√
2mω
p(t)=
1
√
2
(ˆ q(t)+ˆ p(t))
(10.27)
si l’on relie (q, p) à (ˆ q, ˆ
p) de la même manière que (Q, P ) à ( ˆ
Q, ˆ
P ) (10.4) :
z(t) est “l’équivalent classique” de a(t). À partir des équations du mouvement
classiques
dq(t)
dt
=
1
m
p(t)
dp(t)
dt
= −mω
2 q(t)
(10.28)
on montre que z(t) vérifie l’équation différentielle
dz
dt
= −iωz(t)
(10.29)
qui a pour solution
z(t)=z 0 e
−iωt
Le nombre complexe z(t) décrit une trajectoire circulaire dans le plan complexe en z avec une vitesse angulaire uniforme. On déduit de z(t) la position
q(t), l’impulsion p(t) et l’énergie de l’oscillateur
q(t)=
2
mω
Re z(t)
p(t)=
√
2mω Im z(t)
(10.30)
E = ω|z 0 |
2
Il est facile de montrer que la valeur moyenne a(t) de l’opérateur d’annihilation a obéit à la même équation différentielle que z(t) (exercice 10.4.3).
Ceci suggère de chercher les vecteurs propres de l’opérateur a, dont nous allons montrer qu’ils existent
3 , car les valeurs propres correspondantes obéiront
alors à (10.29). Ces vecteurs propres sont précisément les états cohérents. Un
état cohérent |z est défini par
|z = e
−|z
2 |/2
∞
n=0
z
n
√
n!
|n = e
−|z|
2 /2 e
za
† |0
(10.31)
Énonçons quelques propriétés des états cohérents et vérifions tout d’abord que
|z est vecteur propre de a.
• L’état cohérent |z est un vecteur propre de l’opérateur d’annihilation
(non hermitien) a avec la valeur propre z
a|z = z|z
(10.32)
3. Il n’est pas évident ap r i o r ique a, qui n’est pas un opérateur hermitien, ait des
vecteurs propres, et encore moins que ces vecteurs propres forment une base de H.
Physique quantique : Fondements
bien les propriétés annoncées. Soit z(t), un nombre complexe, combinaison de
q(t) et p(t)
z(t)=
mω
2
q(t)+
i
√
2mω
p(t)=
1
√
2
(ˆ q(t)+ˆ p(t))
(10.27)
si l’on relie (q, p) à (ˆ q, ˆ
p) de la même manière que (Q, P ) à ( ˆ
Q, ˆ
P ) (10.4) :
z(t) est “l’équivalent classique” de a(t). À partir des équations du mouvement
classiques
dq(t)
dt
=
1
m
p(t)
dp(t)
dt
= −mω
2 q(t)
(10.28)
on montre que z(t) vérifie l’équation différentielle
dz
dt
= −iωz(t)
(10.29)
qui a pour solution
z(t)=z 0 e
−iωt
Le nombre complexe z(t) décrit une trajectoire circulaire dans le plan complexe en z avec une vitesse angulaire uniforme. On déduit de z(t) la position
q(t), l’impulsion p(t) et l’énergie de l’oscillateur
q(t)=
2
mω
Re z(t)
p(t)=
√
2mω Im z(t)
(10.30)
E = ω|z 0 |
2
Il est facile de montrer que la valeur moyenne a(t) de l’opérateur d’annihilation a obéit à la même équation différentielle que z(t) (exercice 10.4.3).
Ceci suggère de chercher les vecteurs propres de l’opérateur a, dont nous allons montrer qu’ils existent
3 , car les valeurs propres correspondantes obéiront
alors à (10.29). Ces vecteurs propres sont précisément les états cohérents. Un
état cohérent |z est défini par
|z = e
−|z
2 |/2
∞
n=0
z
n
√
n!
|n = e
−|z|
2 /2 e
za
† |0
(10.31)
Énonçons quelques propriétés des états cohérents et vérifions tout d’abord que
|z est vecteur propre de a.
• L’état cohérent |z est un vecteur propre de l’opérateur d’annihilation
(non hermitien) a avec la valeur propre z
a|z = z|z
(10.32)
3. Il n’est pas évident ap r i o r ique a, qui n’est pas un opérateur hermitien, ait des
vecteurs propres, et encore moins que ces vecteurs propres forment une base de H.