10. Oscillateur harmonique
357
par
ϕ n (u)=
1
π 1/4
1
√
2 n n!
e
−u
2 /2 H n (u)
(10.26)
Les premiers polynômes de Hermite sont
H 0 (u)=1
H 1 (u)=2uH 2 (u)=4u
2 − 2 ...
Les polynômes de Hermite H n (u) sont des fonctions paires (impaires) de u
pour n pair (impair), et il en est de même pour les ϕ n (u).
En résumé, on peut établir un “dictionnaire” permettant de passer de la
“représentation n” du § 10.1.2 à la représentation du § 10.1.3 des états propres
de H en termes de fonctions d’onde ϕ n (u). Dans le résumé ci-dessous, la
première équation est écrite dans la base |n, et la seconde est l’équation
équivalente en mécanique ondulatoire.
• Équation aux valeurs propres
1
2
ˆ
P
2 + ˆ
Q
2
|n =
n +
1
2
|n⇐ ⇒
1
2
−
d
2
du 2 + u
2
ϕ n (u)=
n +
1
2
ϕ n (u)
• Relations d’orthonormalisation
n|m = δ nm ⇐⇒
∞
−∞
duϕ
∗
n (u)ϕ m (u)=δ nm
• Relation de fermeture
n
|nn| = I ⇐⇒
n
ϕ n (u)ϕ
∗
n (v)=δ(u − v)
La conjugaison complexe est en fait superflue car les fonctions ϕ n (u) sont
réelles.
10.2 États cohérents
10.2.1 Définition et propriétés élémentaires
Les états cohérents,ouétats semi-classiques, sont des états quantiques remarquables de l’oscillateur harmonique : dans ces états, les valeurs moyennes
des opérateurs position et impulsion ont des propriétés aussi proches que
possibles des valeurs classiques de la position q(t) et de l’impulsion p(t).
L’exercice 10.4.3 montre que l’expression des états cohérents découle de cette
propriété. Nous les définirons ci-dessous a priori et nous vérifierons qu’ils ont
357
par
ϕ n (u)=
1
π 1/4
1
√
2 n n!
e
−u
2 /2 H n (u)
(10.26)
Les premiers polynômes de Hermite sont
H 0 (u)=1
H 1 (u)=2uH 2 (u)=4u
2 − 2 ...
Les polynômes de Hermite H n (u) sont des fonctions paires (impaires) de u
pour n pair (impair), et il en est de même pour les ϕ n (u).
En résumé, on peut établir un “dictionnaire” permettant de passer de la
“représentation n” du § 10.1.2 à la représentation du § 10.1.3 des états propres
de H en termes de fonctions d’onde ϕ n (u). Dans le résumé ci-dessous, la
première équation est écrite dans la base |n, et la seconde est l’équation
équivalente en mécanique ondulatoire.
• Équation aux valeurs propres
1
2
ˆ
P
2 + ˆ
Q
2
|n =
n +
1
2
|n⇐ ⇒
1
2
−
d
2
du 2 + u
2
ϕ n (u)=
n +
1
2
ϕ n (u)
• Relations d’orthonormalisation
n|m = δ nm ⇐⇒
∞
−∞
duϕ
∗
n (u)ϕ m (u)=δ nm
• Relation de fermeture
n
|nn| = I ⇐⇒
n
ϕ n (u)ϕ
∗
n (v)=δ(u − v)
La conjugaison complexe est en fait superflue car les fonctions ϕ n (u) sont
réelles.
10.2 États cohérents
10.2.1 Définition et propriétés élémentaires
Les états cohérents,ouétats semi-classiques, sont des états quantiques remarquables de l’oscillateur harmonique : dans ces états, les valeurs moyennes
des opérateurs position et impulsion ont des propriétés aussi proches que
possibles des valeurs classiques de la position q(t) et de l’impulsion p(t).
L’exercice 10.4.3 montre que l’expression des états cohérents découle de cette
propriété. Nous les définirons ci-dessous a priori et nous vérifierons qu’ils ont