356
Physique quantique : Fondements
En définissant comme dans (10.4) la variable sans dimension u
q =
mω
1/2
u
− i
d
dq
= −i(mω)
1/2 d
du
(10.20)
le hamiltonien (10.19) devient
H =
1
2
ω
−
d
2
du 2 + u
2
(10.21)
On aurait pu obtenir directement cette forme de H àp a r t i rd el ap r e m i è r e
des équations (10.9) en remarquant que u et −id/du ne sont autres que les
réalisations dans l’espace L
(2)
u (R) des opérateurs ˆ
Q et ˆ
P . Il serait possible de
chercher directement les solutions de
Hϕ n (u)=
1
2
ω
−
d
2
du 2 + u
2
ϕ n (u)=E n ϕ n (u)
(10.22)
avec ϕ n (u)=u|n, mais nous nous limiterons à montrer l’unicité du vecteur
|0 dont nous nous sommes servis ci-dessus. Comme u|0 = ϕ 0 (u), l’équation
a|0 =0devient
u|a|0 =
1
√
2
u +
d
du
ϕ 0 (u)=0
qui s’intègre immédiatement en
ϕ 0 (u)=
1
π 1/4 e
−u
2 /2
(10.23)
Le facteur π
−1/4
assure que ϕ 0 est normalisé à l’unité. Cette solution est
unique, ce qui prouve que les vecteurs propres donnés par la série (10.15) sont
non dégénérés. Il est immédiat de vérifier que ϕ 0 (u) obéit à (10.22) avec la
valeur propre ω/2.Lafonctionϕ 0 (u) vérifie bien la propriété caractéristique
de la fonction d’onde d’un état fondamental : elle ne s’annule pas, ou de façon
équivalente, elle n’a pas de nœuds.
Déterminons enfin la forme explicite des fonctions d’onde ϕ n (u)=u|n.
Multiplions à gauche (10.18) écrit sous la forme
|n =
1
√
2 n n!
ˆ
Q − i ˆ
P
n
|0
par le bra u|
ϕ n (u)=u|n =
1
π 1/4
1
√
2 n n!
u −
d
du
n
e
−u
2 /2
(10.24)
Les fonctions ϕ n (u) sont orthogonales pour n = n
′
et normalisées à l’unité
en raison de n|n
′ = δ nn ′ . Les fonctions définies dans l’équation (10.24) sont
reliées aux polynômes de Hermite H n (u)
e
−u
2 /2 H n (u)=
u −
d
du
n
e
−u
2 /2
(10.25)
Physique quantique : Fondements
En définissant comme dans (10.4) la variable sans dimension u
q =
mω
1/2
u
− i
d
dq
= −i(mω)
1/2 d
du
(10.20)
le hamiltonien (10.19) devient
H =
1
2
ω
−
d
2
du 2 + u
2
(10.21)
On aurait pu obtenir directement cette forme de H àp a r t i rd el ap r e m i è r e
des équations (10.9) en remarquant que u et −id/du ne sont autres que les
réalisations dans l’espace L
(2)
u (R) des opérateurs ˆ
Q et ˆ
P . Il serait possible de
chercher directement les solutions de
Hϕ n (u)=
1
2
ω
−
d
2
du 2 + u
2
ϕ n (u)=E n ϕ n (u)
(10.22)
avec ϕ n (u)=u|n, mais nous nous limiterons à montrer l’unicité du vecteur
|0 dont nous nous sommes servis ci-dessus. Comme u|0 = ϕ 0 (u), l’équation
a|0 =0devient
u|a|0 =
1
√
2
u +
d
du
ϕ 0 (u)=0
qui s’intègre immédiatement en
ϕ 0 (u)=
1
π 1/4 e
−u
2 /2
(10.23)
Le facteur π
−1/4
assure que ϕ 0 est normalisé à l’unité. Cette solution est
unique, ce qui prouve que les vecteurs propres donnés par la série (10.15) sont
non dégénérés. Il est immédiat de vérifier que ϕ 0 (u) obéit à (10.22) avec la
valeur propre ω/2.Lafonctionϕ 0 (u) vérifie bien la propriété caractéristique
de la fonction d’onde d’un état fondamental : elle ne s’annule pas, ou de façon
équivalente, elle n’a pas de nœuds.
Déterminons enfin la forme explicite des fonctions d’onde ϕ n (u)=u|n.
Multiplions à gauche (10.18) écrit sous la forme
|n =
1
√
2 n n!
ˆ
Q − i ˆ
P
n
|0
par le bra u|
ϕ n (u)=u|n =
1
π 1/4
1
√
2 n n!
u −
d
du
n
e
−u
2 /2
(10.24)
Les fonctions ϕ n (u) sont orthogonales pour n = n
′
et normalisées à l’unité
en raison de n|n
′ = δ nn ′ . Les fonctions définies dans l’équation (10.24) sont
reliées aux polynômes de Hermite H n (u)
e
−u
2 /2 H n (u)=
u −
d
du
n
e
−u
2 /2
(10.25)