10. Oscillateur harmonique
355
bien ce que l’on constate expérimentalement, en première approximation, pour
les niveaux de vibration d’une molécule.
Les vecteurs |n sont bien sûr orthogonaux si n = n
′
et nous les supposons
désormais unitaires. Il reste à montrer qu’ils ne sont pas dégénérés, qu’ils
forment une base de l’espace de Hilbert H,etav an ttoutqueN a au moins un
vecteur propre, ce qui n’est pas garanti pour un opérateur, même hermitien,
dans un espace de dimension infinie ! Nous construirons explicitement dans la
section suivante le vecteur |0 et nous montrerons qu’il est unique. Cela suffit
à montrer que la série de vecteurs
|0, (a
† )
1 |0, (a
† )
2 |0, ...,(a
† )
n |0 ...
(10.15)
est unique. En effet, nous pouvons raisonner par récurrence en supposant le
vecteur |n non dégénéré. Soit |n +1, un vecteur propre de N correspondant
àlav aleurpropre(n+1) : N |n+1 =(n+1)|n+1.Alors,c étant un nombre
complexe =0,
a|n +1 = c|n⇒a
† a|n +1 = ca
† |n⇒|n +1 =
ca
†
n +1
|n
ce qui montre que |n +1∝a
† |n :s i|0 est unique, le vecteur |n est aussi
unique à un facteur de phase près.
Comme dans le cas de la base standard |jm du moment angulaire, il est
commode de fixer un fois pour toutes la phase relative des vecteurs propres
de H.S i|n est de norme unité, le vecteur a
† |n est de norme
√
n +1 et par
conséquent
a
† |n = e
iα
√
n +1 |n +1
Le choix de phase le plus simple est α =0et on a alors
a
† |n =
√
n +1 |n +1
(10.16)
a|n =
√
n |n − 1
(10.17)
Les équations (10.16) et (10.17) mettent en évidence le rôle de création et de
destruction de a
† et a : a
† augmente n d’une unité, a diminue n d’une unité.
Les vecteurs |n se déduisent de |0 par
|n =
1
√
n!
(a
† )
n |0
(10.18)
Il reste à montrer que les vecteurs |n forment une base de H : nous renvoyons
ce point de rigueur à l’exercice 10.6.2.
10.1.3 Fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique
En mécanique ondulatoire, le hamiltonien de l’oscillateur harmonique
s’écrit
H = −
2
2m
d
2
dq 2 +
1
2
mω
2 q
2
(10.19)
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bien ce que l’on constate expérimentalement, en première approximation, pour
les niveaux de vibration d’une molécule.
Les vecteurs |n sont bien sûr orthogonaux si n = n
′
et nous les supposons
désormais unitaires. Il reste à montrer qu’ils ne sont pas dégénérés, qu’ils
forment une base de l’espace de Hilbert H,etav an ttoutqueN a au moins un
vecteur propre, ce qui n’est pas garanti pour un opérateur, même hermitien,
dans un espace de dimension infinie ! Nous construirons explicitement dans la
section suivante le vecteur |0 et nous montrerons qu’il est unique. Cela suffit
à montrer que la série de vecteurs
|0, (a
† )
1 |0, (a
† )
2 |0, ...,(a
† )
n |0 ...
(10.15)
est unique. En effet, nous pouvons raisonner par récurrence en supposant le
vecteur |n non dégénéré. Soit |n +1, un vecteur propre de N correspondant
àlav aleurpropre(n+1) : N |n+1 =(n+1)|n+1.Alors,c étant un nombre
complexe =0,
a|n +1 = c|n⇒a
† a|n +1 = ca
† |n⇒|n +1 =
ca
†
n +1
|n
ce qui montre que |n +1∝a
† |n :s i|0 est unique, le vecteur |n est aussi
unique à un facteur de phase près.
Comme dans le cas de la base standard |jm du moment angulaire, il est
commode de fixer un fois pour toutes la phase relative des vecteurs propres
de H.S i|n est de norme unité, le vecteur a
† |n est de norme
√
n +1 et par
conséquent
a
† |n = e
iα
√
n +1 |n +1
Le choix de phase le plus simple est α =0et on a alors
a
† |n =
√
n +1 |n +1
(10.16)
a|n =
√
n |n − 1
(10.17)
Les équations (10.16) et (10.17) mettent en évidence le rôle de création et de
destruction de a
† et a : a
† augmente n d’une unité, a diminue n d’une unité.
Les vecteurs |n se déduisent de |0 par
|n =
1
√
n!
(a
† )
n |0
(10.18)
Il reste à montrer que les vecteurs |n forment une base de H : nous renvoyons
ce point de rigueur à l’exercice 10.6.2.
10.1.3 Fonctions d’onde de l’oscillateur harmonique
En mécanique ondulatoire, le hamiltonien de l’oscillateur harmonique
s’écrit
H = −
2
2m
d
2
dq 2 +
1
2
mω
2 q
2
(10.19)