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Physique quantique : Fondements
Si ν>0, nous avons vu que a|ν est vecteur propre de N avec la valeur propre
(ν − 1).S i(ν − 1) = 0, a
2 |ν =0.S i(ν − 1) > 0, on peut construire le vecteur
non nul a
2 |ν,dev aleurpropre(ν − 2), et continuer le processus si (ν − 2) > 0.
La suite des vecteurs
a
0 |ν,a
1 |ν,a
2 |ν,...,a
p |ν ...
est une suite de vecteurs propres de N correspondant aux valeurs propres
ν, ν − 1, ..., (ν − p) ...
Ceci montre que ν est nécessairement un nombre entier. Sinon, pour p suffisamment grand, (ν − p) deviendrait négatif et le vecteur a
p |ν serait de norme
négative. Il est donc nécessaire que la série s’arrête pour une valeur entière
ν = p telle que le vecteur a
p+1 |ν =0.
La suite des vecteurs
(a
† )
0 |ν, (a
† )
1 |ν, (a
† )
2 |ν, ..., (a
† )
p |ν ...
forme une suite de vecteurs propres de N correspondant aux valeurs propres
ν, ν +1, ...,(ν + p) ...
En résumé, les valeurs propres de N sont des nombres entiers :
n =0 , 1, 2, ...,n, ...
On note |n les vecteurs propres de N correspondant à la valeur propre n
N |n = a
† a|n = n|n
(10.12)
ou de façon équivalente pour H
H|n = ω
n +
1
2
|n
(10.13)
Les valeurs propres E n de l’énergie étiquetées par l’entier n sont de la forme
E n = ω
n +
1
2
(10.14)
Contrairement au cas de l’oscillateur classique, le niveau d’énergie E 0 du fondamental n’est pas zéro, ce qui correspondrait à une particule immobile à
l’équilibre, mais E 0 = ω/2 :c ’ e s tl’énergie de point zéro de l’oscillateur harmonique. On peut en donner une explication qualitative grâce aux inégalités
de Heisenberg (exercice 8.6.4). Il ne faut surtout pas confondre le vecteur
propre |0 de l’état fondamental et le vecteur nul de l’espace de Hilbert H,
|ϕ =0! On remarque aussi que les niveaux d’énergie sont équidistants : c’est
Physique quantique : Fondements
Si ν>0, nous avons vu que a|ν est vecteur propre de N avec la valeur propre
(ν − 1).S i(ν − 1) = 0, a
2 |ν =0.S i(ν − 1) > 0, on peut construire le vecteur
non nul a
2 |ν,dev aleurpropre(ν − 2), et continuer le processus si (ν − 2) > 0.
La suite des vecteurs
a
0 |ν,a
1 |ν,a
2 |ν,...,a
p |ν ...
est une suite de vecteurs propres de N correspondant aux valeurs propres
ν, ν − 1, ..., (ν − p) ...
Ceci montre que ν est nécessairement un nombre entier. Sinon, pour p suffisamment grand, (ν − p) deviendrait négatif et le vecteur a
p |ν serait de norme
négative. Il est donc nécessaire que la série s’arrête pour une valeur entière
ν = p telle que le vecteur a
p+1 |ν =0.
La suite des vecteurs
(a
† )
0 |ν, (a
† )
1 |ν, (a
† )
2 |ν, ..., (a
† )
p |ν ...
forme une suite de vecteurs propres de N correspondant aux valeurs propres
ν, ν +1, ...,(ν + p) ...
En résumé, les valeurs propres de N sont des nombres entiers :
n =0 , 1, 2, ...,n, ...
On note |n les vecteurs propres de N correspondant à la valeur propre n
N |n = a
† a|n = n|n
(10.12)
ou de façon équivalente pour H
H|n = ω
n +
1
2
|n
(10.13)
Les valeurs propres E n de l’énergie étiquetées par l’entier n sont de la forme
E n = ω
n +
1
2
(10.14)
Contrairement au cas de l’oscillateur classique, le niveau d’énergie E 0 du fondamental n’est pas zéro, ce qui correspondrait à une particule immobile à
l’équilibre, mais E 0 = ω/2 :c ’ e s tl’énergie de point zéro de l’oscillateur harmonique. On peut en donner une explication qualitative grâce aux inégalités
de Heisenberg (exercice 8.6.4). Il ne faut surtout pas confondre le vecteur
propre |0 de l’état fondamental et le vecteur nul de l’espace de Hilbert H,
|ϕ =0! On remarque aussi que les niveaux d’énergie sont équidistants : c’est