10. Oscillateur harmonique
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Un calcul immédiat permet d’établir les relations de commutation de a et a
†
[a, a
† ]=I
(10.8)
ainsi que trois expressions utiles de H
H =
1
2
ω
ˆ
P
2 + ˆ
Q
2
= ω
a
† a +
1
2
= ω
N +
1
2
(10.9)
Nous avons introduit l’opérateur N ,o uo p é r a t e u rnombre de particules
2
N = a
† a
(10.10)
qui vérifie les relations de commutation suivantes avec a et a
†
[N, a]=−a
[N, a
† ]=a
†
(10.11)
Compte tenu de (10.9), il est équivalent de diagonaliser N ou H.
10.1.2 Diagonalisation du hamiltonien
Supposons que nous ayons trouvé un vecteur propre |ν de N , normalisable, mais pas nécessairement unitaire, de valeur propre ν
N |ν = ν|ν
On doit avoir ν ≥ 0 :e ne ff e t ,
0 ≤||a|ν||
2 = ν|a
† a|ν = ν|N |ν = νν|ν
ce qui implique que si ν =0 ,a l o r sa|ν =0 . Dans le cas contraire, a|ν est
un vecteur de norme carrée νν|ν, et c’est un vecteur propre de N avec la
valeur propre (ν − 1), car, en utilisant (10.11)
Na
|ν
= a(N − 1)|ν =(ν − 1)
a|ν
Enfin, a
† |ν est certainement un vecteur non nul, de norme carrée (ν +1)ν|ν,
et c’est un vecteur propre de N avec la valeur propre (ν +1). En effet, d’une
part
0 ≤||a
† |ν||
2 = ν|aa
† |ν = ν|(N +1)|ν =(ν +1)ν|ν
et d’autre part,
N
a
† |ν
= a
† (N +1)|ν =(ν +1)
a
† |ν
2. Cette terminologie sera justifiée pour les photons au § 17.1.1 et au chapitre 14 dans
le cas général.