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Physique quantique : Fondements
Nous venons d’introduire l’exemple le plus simple, celui d’un oscillateur
isolé, dont le traitement quantique fera l’objet de la section 10.1 dans une
base particulière, celle des états propres de l’énergie. Une autre “base”, celle
des états cohérents, sera examinée dans la section suivante. Elle trouve de
nombreuses applications en optique quantique. Il peut sembler surprenant
que figure dans la dernière section de ce chapitre l’étude du mouvement d’une
particule chargée dans un champ magnétique. Nous verrons que dans le cas
d’un champ magnétique constant, les équations du mouvement se ramènent à
celles de deux oscillateurs harmoniques. L’étude des niveaux d’énergie dans un
champ magnétique, ou niveaux de Landau, sera précédée d’une définition de
l’invariance de jauge locale, qui fixe la forme de l’interaction d’une particule
chargée avec le champ électromagnétique.
10.1 L’oscillateur harmonique simple
10.1.1 Opérateurs de création et d’annihilation
Notre point de départ sera le hamiltonien (10.2). Ce hamiltonien se transpose en mécanique quantique si l’on interprète les quantités p et q comme des
opérateurs : p → P, q → Q et si l’on impose les relations de commutation
canoniques
[Q, P ]=iI
(10.3)
Comme souvent en physique, il est utile de définir des quantités sans dimensions, et nous introduirons les opérateurs ˆ
P et ˆ
Q par
Q =
mω
1/2
ˆ
QP =(mω)
1/2 ˆ
P
(10.4)
qui obéissent à la relation de commutation
[ ˆ
Q, ˆ
P ]=iI
(10.5)
Nous allons construire les vecteurs propres de H par une méthode algébrique,
suivant l’esprit de celle qui a été utilisée pour le moment angulaire. Le principe de cette méthode consiste à introduire des opérateurs a et a
†
, appelés
respectivement opérateur d’annihilation (ou de destruction) et opérateur de
création de l’oscillateur harmonique, qui feront passer d’une valeur propre de
H à une autre, tout comme J − et J + font passer d’une valeur propre de J z à
une autre. Nous définissons donc les opérateurs
1
a =
1
√
2
ˆ
Q + i ˆ
P
(10.6)
a
†
=
1
√
2
ˆ
Q − i ˆ
P
(10.7)
1. Afin de nous conformer aux notations usuelles, nous dérogeons à notre règle selon
laquelle les opérateurs sont notés par des lettres majuscules.
Physique quantique : Fondements
Nous venons d’introduire l’exemple le plus simple, celui d’un oscillateur
isolé, dont le traitement quantique fera l’objet de la section 10.1 dans une
base particulière, celle des états propres de l’énergie. Une autre “base”, celle
des états cohérents, sera examinée dans la section suivante. Elle trouve de
nombreuses applications en optique quantique. Il peut sembler surprenant
que figure dans la dernière section de ce chapitre l’étude du mouvement d’une
particule chargée dans un champ magnétique. Nous verrons que dans le cas
d’un champ magnétique constant, les équations du mouvement se ramènent à
celles de deux oscillateurs harmoniques. L’étude des niveaux d’énergie dans un
champ magnétique, ou niveaux de Landau, sera précédée d’une définition de
l’invariance de jauge locale, qui fixe la forme de l’interaction d’une particule
chargée avec le champ électromagnétique.
10.1 L’oscillateur harmonique simple
10.1.1 Opérateurs de création et d’annihilation
Notre point de départ sera le hamiltonien (10.2). Ce hamiltonien se transpose en mécanique quantique si l’on interprète les quantités p et q comme des
opérateurs : p → P, q → Q et si l’on impose les relations de commutation
canoniques
[Q, P ]=iI
(10.3)
Comme souvent en physique, il est utile de définir des quantités sans dimensions, et nous introduirons les opérateurs ˆ
P et ˆ
Q par
Q =
mω
1/2
ˆ
QP =(mω)
1/2 ˆ
P
(10.4)
qui obéissent à la relation de commutation
[ ˆ
Q, ˆ
P ]=iI
(10.5)
Nous allons construire les vecteurs propres de H par une méthode algébrique,
suivant l’esprit de celle qui a été utilisée pour le moment angulaire. Le principe de cette méthode consiste à introduire des opérateurs a et a
†
, appelés
respectivement opérateur d’annihilation (ou de destruction) et opérateur de
création de l’oscillateur harmonique, qui feront passer d’une valeur propre de
H à une autre, tout comme J − et J + font passer d’une valeur propre de J z à
une autre. Nous définissons donc les opérateurs
1
a =
1
√
2
ˆ
Q + i ˆ
P
(10.6)
a
†
=
1
√
2
ˆ
Q − i ˆ
P
(10.7)
1. Afin de nous conformer aux notations usuelles, nous dérogeons à notre règle selon
laquelle les opérateurs sont notés par des lettres majuscules.