Chapitre 10
Oscillateur harmonique
L’oscillateur harmonique est un système d’une grande importance en mécanique classique, car il décrit les petites oscillations de systèmes physiques
autour d’une position d’équilibre stable ; son importance n’est pas moindre en
mécanique quantique. Pour fixer les idées, et afin de prendre l’exemple simple
d’un mouvement à une dimension, examinons le cas des vibrations d’une molécule diatomique dont les deux noyaux ont des masses m 1 et m 2 .O np r e n d
pour axe des x la droite joignant les deux noyaux et on note x = x 1 − x 2
la coordonnée de la particule relative (exercice 7.5.6). À l’équilibre, les deux
noyaux se trouvent à une distance x = x 0 . En physique classique, le hamiltonien de la particule relative s’écrit
H cl =
p
2
2m
+ V (x)
(10.1)
où m = m 1 m 2 /(m 1 +m 2 ) est la masse réduite. Développons V (x) au voisinage
de x = x 0 :
V = V (x 0 )+(x − x 0 )V
′ (x 0 )+
1
2
(x − x 0 )
2 V
′′ (x 0 )+···
La constante V (x 0 ) est en général sans intérêt et on peut la prendre égale
à zéro par une redéfinition du zéro d’énergie. Comme x 0 est une position
d’équilibre, V
′ (x 0 )=0, et si cette position d’équilibre est stable, V
′′ (x 0 ) > 0.
Posant
q = x − x 0 ,C = V
′′ (x 0 ) ,ω =
C
m
le hamiltonien (10.1) devient
H cl =
p
2
2m
+
1
2
mω
2 q
2
(10.2)
où ω est la fréquence des oscillations autour de la position d’équilibre.