10. Oscillateur harmonique
377
Retrouver la loi de transformation (10.58) dans le cas abélien.
2. On choisit une transformation de jauge infinitésimale : |qΛ a ( r)|≪1.
En déduire la loi de transformation de
A a
δ
A a =
A
′
a −
A a = −
∇Λ a + q
b,c
ε abc Λ b
A c
La différence (cruciale !) avec le cas abélien est que le champ de jauge
A a
dépend de façon non triviale de l’indice de symétrie interne a du groupe de
jauge
9 . En électromagnétisme, les photons ne transportent pas de charge, mais
les bosons de jauge d’une théorie non abélienne sont “chargés” : ils transportent
les nombres quantiques de la symétrie interne.
3. Montrer que si Φ obéit à l’équation de Schrödinger indépendante du
temps
1
2
−i∇−q
A
2
Φ=
1
2
(−i
D)
2 Φ=EΦ
il en est alors de même pour Φ
′ à condition d’utiliser le champ
A
′ .
10.5 Bibliographie
La diagonalisation du hamiltonien de l’oscillateur harmonique à une dimension par une méthode algébrique est classique et se trouve dans tous
les manuels de mécanique quantique. La théorie des états cohérents est développée par Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément G V ou Gerry et
Knight [2005], chapitre 3. Feynman et al. [1965], volume III, chapitre 21
donnent une discussion physique de la différence entre la vitesse et
p/m en
présence d’un champ électromagnétique. Les niveaux de Landau sont traités
dans Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément E VI et les applications à la
physique du solide par Huang [1963] chapitre 11.
9. Comme le champ
A est un champ vectoriel, les particules associées sont, comme le
photon, des particules de spin 1, appelées bosons de jauge : bosons Z 0 et W ± pour les
interactions électrofaibles, gluons pour la chromodynamique.
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Retrouver la loi de transformation (10.58) dans le cas abélien.
2. On choisit une transformation de jauge infinitésimale : |qΛ a ( r)|≪1.
En déduire la loi de transformation de
A a
δ
A a =
A
′
a −
A a = −
∇Λ a + q
b,c
ε abc Λ b
A c
La différence (cruciale !) avec le cas abélien est que le champ de jauge
A a
dépend de façon non triviale de l’indice de symétrie interne a du groupe de
jauge
9 . En électromagnétisme, les photons ne transportent pas de charge, mais
les bosons de jauge d’une théorie non abélienne sont “chargés” : ils transportent
les nombres quantiques de la symétrie interne.
3. Montrer que si Φ obéit à l’équation de Schrödinger indépendante du
temps
1
2
−i∇−q
A
2
Φ=
1
2
(−i
D)
2 Φ=EΦ
il en est alors de même pour Φ
′ à condition d’utiliser le champ
A
′ .
10.5 Bibliographie
La diagonalisation du hamiltonien de l’oscillateur harmonique à une dimension par une méthode algébrique est classique et se trouve dans tous
les manuels de mécanique quantique. La théorie des états cohérents est développée par Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément G V ou Gerry et
Knight [2005], chapitre 3. Feynman et al. [1965], volume III, chapitre 21
donnent une discussion physique de la différence entre la vitesse et
p/m en
présence d’un champ électromagnétique. Les niveaux de Landau sont traités
dans Cohen-Tannoudji et al. [1973], complément E VI et les applications à la
physique du solide par Huang [1963] chapitre 11.
9. Comme le champ
A est un champ vectoriel, les particules associées sont, comme le
photon, des particules de spin 1, appelées bosons de jauge : bosons Z 0 et W ± pour les
interactions électrofaibles, gluons pour la chromodynamique.