9. Moment angulaire
349
En déduire
α m
l + m +1/2
=
α m−1
l + m − 1/2
et en observant que ce rapport est indépendant de m
α m =
l + m +1/2
2l +1
En utilisant la condition |α m |
2 + |β m |
2 =1et le fait que les coefficients de
Clebsch-Gordan sont réels par convention, montrer que
β m =
l − m +1/2
2l +1
Vérifier que le signe devant la racine carrée est bien +. On obtient donc pour
les coefficients de Clebsch-Gordan.
C
l,1/2
m−1/2,1/2;l+1/2,m = α m =
l + m +1/2
2l +1
C
l,1/2
m+1/2,−1/2;l+1/2,m = β m =
l − m +1/2
2l +1
En utilisant le fait que le vecteur ϕ(l − 1/2,m) est orthogonal au vecteur
ϕ(l +1/2,m),m o n t r e rq u e
ϕ(l − 1/2,m)=
l − m +1/2
2l +1
ψ(m − 1/2)−
l + m +1/2
2l +1)
ψ(m +1/2, −1/2)
et en déduire (par convention C
l,1/2
m+1/2,−1/2;l−1/2,m > 0)
C
l,1/2
m−1/2,1/2;l−1/2,m = −β m = −
l − m +1/2
2l +1
C
l,1/2
m+1/2,−1/2;l−1/2,m = α m =
l + m +1/2
2l +1
9.7.19 Opérateurs tensoriels irréductibles
Un opérateur tensoriel irréductible d’ordre k, T
(k) possède (2k +1) composantes T
(k)
q
q = −k, −k +1,......,k− 1,k
et se transforme par une rotation R suivant
U (R)T
(k)
q U
† (R)=
q ′
D
(k)
q ′ q (R)T
(k)
q ′