9. Moment angulaire
347
9.7.16 Interaction de deux dipôles
Le hamiltonien d’interaction de deux dipôles magnétiques portés par des
particules de spin 1/2 s’écrit
H =
K
r 3
3( σ 1 · ˆ
r)( σ 2 · ˆ
r) − σ 1 · σ 2
=
K
r 3 S 12
où r est le vecteur joignant les deux dipôles et σ 1 et σ 2 les matrices de Pauli
des deux particules. Soit
Σ=
1
2
( σ 1 + σ 2 )
le spin total. Montrer que
S 12 =2
3Q
2 −
Σ
2
Q
2 =(
Σ · ˆ
r)
2
et que Q
4 = Q
2
: Q
2
est un projecteur. En déduire que S
2
12 =4
Σ
2 − 2S 12 et
que les valeurs propres de S 12 sont 0, 2 et −4.
9.7.17 Désintégration du Σ
0
La particule Σ
0
, formée d’un quark up, d’un quark down et d’un quark
étrange, de masse 1192 MeV/c
2
et de spin 1/2, se désintègre par une transition
radiative en une particule Λ
0
, également formée d’un quark up, d’un quark
down et d’un quark étrange, de masse 1115 MeV/c
2
et de spin 1/2
Σ
0 → Λ
0 + γ
Le Σ
0
est supposé au repos, son spin est quantifié suivant Oz et la projection
de son spin sur cet axe est m ; l’impulsion
p du photon est située dans le plan
xOz et fait un angle θ avec l’axe Oz.
1. On suppose d’abord que le photon est émis dans la direction Oz (θ =0).
Si m
′
est la projection du spin du Λ
0
sur Oz, montrer que les amplitudes non
nulles sont (T est l’opérateur de transition)
a = D, m
′ = −
1
2
; θ =0|T |m =
1
2
b = G, m
′ =
1
2
; θ =0|T |m = −
1
2
tandis que
c = D, m
′ =
1
2
; θ =0|T |m =
1
2
=0
d = G, m
′ = −
1
2
; θ =0|T |m = −
1
2
=0