9. Moment angulaire
341
et en déduire α =
1
n
, k ≥ l +1 et par conséquent l +1≤ k ≤ n.M o n t r e rq u e
le spectre de l’atome d’hydrogène est donné par (9.93).
9.7.10 Éléments de matrice d’un potentiel
L’électron externe d’un atome est supposé dans un état p (l =1 ) .S a
fonction d’onde est
ψ 1m ( r)=Y
m
1 (θ, φ)
u 1 (r)
r
Il est plongé dans un potentiel extérieur de la forme
V ( r)=Ax
2 + By
2 − (A + B)z
2
où A et B sont des constantes.
1. Montrer sans calculs que la matrice représentative de V dans la base
|lm est de la forme
V m ′ m =
⎛
⎝
α 0 β
0 γ 0
β 0 α
⎞
⎠
les lignes et les colonnes étant rangées dans l’ordre m
′ ,m=1, 0, −1.
2. Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de V .M o n t r e rq u e
L z =0dans un état propre de V .
3. Utiliser (9.63) pour calculer explicitement α, β et γ en fonction de A,
B et
I =
∞
0
|u 1 (r)|
2 r
2 dr
.
9.7.11 Équation radiale en dimension d =2
On se propose d’écrire l’équivalent de l’équation (9.78) lorsque l’espace
est à deux dimensions et le potentiel invariant par rotation. L’équation de
Schrödinger indépendante du temps est
−
1
2M
∇
2 + V (r)
ψ( r)=Eψ( r)
On utilise les coordonnées polaires dans le plan xOy
x = r cos θy = r sin θ
On rappelle l’expression du laplacien en coordonnées polaires
∇
2 =
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r
+
1
r 2
∂
2
∂θ 2