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Physique quantique : Fondements
On peut montrer que le coefficient de proportionnalité est
(2l +1)/(4π)
Y
m
l (θ, φ)=
2l +1
4π
D
(l)
m0 (θ, φ)
∗
9.7.7 Indépendance de l’énergie par rapport à m
En supposant le potentiel V (r) invariant par rotation, soit ψ lm une solution
de l’équation de Schrödinger indépendante du temps
Hψ lm = E lm ψ lm
Utiliser la relation de commutation [L + ,H]=0pour montrer que l’énergie
E lm est en fait indépendante de m.
9.7.8 Puits sphérique
1. Soit le potentiel V ( r) à symétrie sphérique (voir la figure 13.4)
V ( r)=−V 0
0 ≤ r ≤ R
=0
r>R
appelé puits sphérique. Établir l’équation donnant les états liés dans l’onde s
(l =0 ). Y a-t-il toujours un état lié ? Comparer avec le cas du puits à une
dimension.
2. On modélise le potentiel neutron-proton par un puits sphérique de rayon
R ≃ 2 fm. Il existe un seul état lié neutron-proton dans l’onde s,ledeutéron
15 ,
dont l’énergie de liaison est B ≃ 2.2 MeV. Calculer la profondeur V 0 du puits
nécessaire pour qu’il y ait juste un état lié. Comparer V 0 avec l’énergie de
liaison et montrer que V 0 ≫ B.
3. Trouver les niveaux d’énergie dans l’onde s d’une particule dans le
potentiel
V (r)=
A
r 2 −
B
r
A, B > 0
9.7.9 Atome d’hydrogène pour l =0
1. Écrire l’équation qui généralise (7.26) lorsque le moment angulaire orbital l =0. En déduire que l’on doit rajouter à (9.91) le terme
−l(l +1)
a 1
x
+
∞
k=1
a k+1 x
k−1
2. Montrer la relation de récurrence
a k+1 =
2(αk − 1)
k(k +1)− l(l +1)
a k
15. En fait, le deutéron a ausssi une petite composante d’onde d.