9. Moment angulaire
339
9.7.5 Moment angulaire orbital
1. Utiliser les relations de commutation canoniques
[X i ,P j ]=i δ ij I
et l’expression
L =
R ×
P pour montrer
[L x ,L y ]=iL z
2. Démontrer les équations (9.47) à (9.49). Suggestion : montrer que pour
une rotation infinitésimale d’angle dα autour de Ox, les angles θ et φ varient
de
dθ = − sin φ dα
dφ = −
cos φ
tan θ
dα
En déduire L x et L y = i[L x ,L z ].
3. Comme L z = −i∂/∂φ, on pourrait s’attendre à une inégalité de Heisenberg
∆φ ∆L z ≥
1
2
Or, dans un état propre de L z où m est fixé, ∆L z =0, tandis que ∆φ ≤ 2π,
puisque 0 ≤ φ ≤ 2π et l’inégalité de Heisenberg est violée dans cet état. Où
est la faute de raisonnement ? Suggestion : voir l’exercice 6.4.3, question 2.
Pourquoi le raisonnement de l’exercice 8.6.1 est-il en défaut ?
9.7.6 Relation entre les matrices de rotation
et les harmoniques sphériques
1. Soit ϕ( r)=ϕ(x, y, z), la fonction d’onde d’une particule. Montrer que
e
−iαLz ϕ
(0, 0,z)=ϕ(0, 0,z)
et en déduire que si une particule est localisée sur l’axe Oz,l ac o m p o s a n t e
z de son moment angulaire orbital est nulle. Interpréter qualitativement ce
résultat.
2. On suppose que le moment angulaire orbital de la particule est l et
on écrit sa fonction d’onde comme le produit d’un harmonique sphérique et
d’une fonction d’onde radiale g l (r) qui ne dépend que de r = | r|
ψ lm ( r)=Y
m
l (θ, φ)g l (r)=θ, φ|lmg l (r)
On s’intéresse uniquement à la partie angulaire. En utilisant
|θ, φ = U (R)|θ =0,φ =0
où R est la rotation d’angles (θ, φ),m o n t r e rq u e
Y
m
l (θ, φ) ∝
D
(l)
m0 (θ, φ)
∗