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Physique quantique : Fondements
9.7 Exercices
9.7.1 Propriétés de
J
Vérifier par un calcul explicite que [
J
2 ,J z ]=0 . Vérifier également les
identités (9.5) à (9.9).
9.7.2 Rotation d’un moment angulaire
Soit R la rotation (9.30) d’angles (θ, φ). Vérifier que le vecteur
U (R)|jm = e
−iφJz e
−iθJy |jm
est vecteur propre de l’opérateur
J x sin θ cos φ + J y sin θ sin φ + J z cos θ =
J · ˆ
n
avec la valeur propre m ; ˆ
n est le vecteur unitaire dans la direction (θ, φ).
Suggestion : adapter (7.29).
9.7.3 Rotations (θ, φ)
Montrer que l’on peut écrire la rotation (9.30) R(θ, φ) sous la forme
R(θ, φ)=R y ′ (θ)R z (φ)
où Oy
′
est l’axe obtenu à partir de Oy par une rotation de φ autour de Oz.
Suggestion : montrer
R y ′ (θ)=R z (φ)R y (θ)R z (−φ)
9.7.4 Moments angulaires j =
1
2
et j =1
1. Retrouver à partir de (9.23) les opérateurs S x , S y et S z du spin 1/2.
2. Toujours à partir de (9.23), calculer les matrices 3 × 3 représentatives
de J x , J y et J z pour le moment angulaire j =1.
3. Montrer que pour j =1, J x ,J y ,J z sont reliés aux générateurs infinitésimaux (7.26) T x ,T y ,T z par la transformation unitaire qui fait passer des composantes cartésiennes de ˆ
r à ses composantes sphériques (9.64) : J i = U
† T i U
avec
U =
1
√
2
⎛
⎝
−10
1
−i
0 −i
0
√
20
⎞
⎠
4. Calculer la matrice de rotation d
(1) (θ)
d
(1) (θ)=exp(−iθJ y )
et vérifier (9.39). Suggestion : montrer que J
3
y = J y .
Physique quantique : Fondements
9.7 Exercices
9.7.1 Propriétés de
J
Vérifier par un calcul explicite que [
J
2 ,J z ]=0 . Vérifier également les
identités (9.5) à (9.9).
9.7.2 Rotation d’un moment angulaire
Soit R la rotation (9.30) d’angles (θ, φ). Vérifier que le vecteur
U (R)|jm = e
−iφJz e
−iθJy |jm
est vecteur propre de l’opérateur
J x sin θ cos φ + J y sin θ sin φ + J z cos θ =
J · ˆ
n
avec la valeur propre m ; ˆ
n est le vecteur unitaire dans la direction (θ, φ).
Suggestion : adapter (7.29).
9.7.3 Rotations (θ, φ)
Montrer que l’on peut écrire la rotation (9.30) R(θ, φ) sous la forme
R(θ, φ)=R y ′ (θ)R z (φ)
où Oy
′
est l’axe obtenu à partir de Oy par une rotation de φ autour de Oz.
Suggestion : montrer
R y ′ (θ)=R z (φ)R y (θ)R z (−φ)
9.7.4 Moments angulaires j =
1
2
et j =1
1. Retrouver à partir de (9.23) les opérateurs S x , S y et S z du spin 1/2.
2. Toujours à partir de (9.23), calculer les matrices 3 × 3 représentatives
de J x , J y et J z pour le moment angulaire j =1.
3. Montrer que pour j =1, J x ,J y ,J z sont reliés aux générateurs infinitésimaux (7.26) T x ,T y ,T z par la transformation unitaire qui fait passer des composantes cartésiennes de ˆ
r à ses composantes sphériques (9.64) : J i = U
† T i U
avec
U =
1
√
2
⎛
⎝
−10
1
−i
0 −i
0
√
20
⎞
⎠
4. Calculer la matrice de rotation d
(1) (θ)
d
(1) (θ)=exp(−iθJ y )
et vérifier (9.39). Suggestion : montrer que J
3
y = J y .