9. Moment angulaire
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d’où
j
′ m
′ |V q |jm =
˜ j
C
1j
qm;˜ j ˜
m j
′ m
′ |1j˜ j ˜
m
=
˜
j
C
1j
qm;˜ j ˜
m δ j ′ ˜
j δ m ′ ˜
m β(j
′ ,j)=C
1j
qm;j ′ ,m ′ β(j
′ ,j)
Définissant l’élément de matrice réduit j
′ ||V q ||j par
j
′ ||V ||j = β(j
′ ,j)
on obtient le théorème de Wigner-Eckart pour les opérateurs vectoriels
j
′ m
′ |V q |jm = C
1j
qm;j ′ m ′ j
′ ||V ||j
(9.149)
Toute la dépendance dans les nombres quantiques magnétiques m, m
′
et
q est contenue dans le coefficient de Clebsch-Gordan C
1j
qm;j ′ m ′ , que l’on
trouve dans des tables. À j fixé, les seules valeurs possibles de j
′ sont j
′ =
j−1,j ,j+1. Ce théorème se généralise aux opérateurs tensoriels irréductibles :
voir l’exercice 9.7.19.
Comme application, calculons les éléments de matrice d’un opérateur vectoriel lorsque j = j
′ , en utilisant le fait que
J est un opérateur vectoriel dont
les éléments de matrice obéissent à (9.149)
jm
′ |J q |jm = C
1j
qm;jm ′ j||J||j
Il en découle une relation de proportionnalité pour les composantes cartésiennes V k
jm
′ |V k |jm = K jm
′ |J k |jm
Pour évaluer la constante K, nous calculons le produit scalaire
J ·
V ,q u ie s t
un opérateur scalaire
jm|(
J ·
V )|jm =
k,m ′′
jm|J k |jm
′′ jm
′′ |V k |jm
= K
k,m ′′
jm|J k |jm
′′ jm
′′ |J k |jm
= K jm|
J
2 |jm = Kj(j +1)
En combinant ces équations, on obtient pour les éléments de matrice de V k
jm
′ |V k |jm =
1
j(j +1)
j||(
J ·
V )||jjm
′ |J k |jm
(9.150)
Comme (
J ·
V ) est un opérateur scalaire, jm|(
J ·
V )|jm est indépendant de
m et égal à l’élément de matrice réduit j||(
J ·
V )||j.