336
Physique quantique : Fondements
Ces composantes sont aussi appelées composantes standard de
V , car dans le
cas où
V est l’opérateur position,
V =
R, les composantes ˆ
r 1 , ˆ
r 0 et ˆ
r −1 du
vecteur ˆ
r ne sont autres que les harmoniques sphériques Y
±
1 et Y
0
1 àunfacteur
3/4π près (cf. (9.64)). Ceci implique d’après (9.65) la loi de transformation
(Rˆ r) m =
m ′
D
(1)
m ′ m (R
−1 )ˆ r m ′
(9.146)
La loi de transformation des composantes sphériques de
V est donc
14
U (R) V q U
† (R)=
q ′
D
(1)
q ′ q (R)V q ′
(9.147)
On pourrait naturellement vérifier cette expression en utilisant les formules
explicites pour D
(1)
et la définition des composantes sphériques.
Notre objectif est de relier les éléments de matrice des diverses composantes d’un opérateur vectoriel entre des états |jm. Pour ce faire, examinons
les propriétés de transformation par rotation du vecteur |1jqm = V q |jm
U (R)|1jqm = U (R)V q U
† (R)U (R)|jm
=
q ′ m ′
D
(1)
q ′ q (R)D
(j)
m ′ m (R)|1jq
′ m
′
Les vecteurs |1jqm se transforment par rotation exactement de la même façon
que les vecteurs |j 1 j 2 m 1 m 2 avec j 1 =1 ,j 2 = j, m 1 = q, m 2 = m.O np e u t
donc construire des vecteurs
|˜ j ˜
m =
m+q=˜ m
C
1j
qm;˜ j ˜
m |1jqm
(9.148)
qui se transforment par rotation suivant la loi
U (R)|˜ j ˜
m =
˜
m ′
D
(˜ j)
˜
m ′ ˜
m |˜ j ˜
m
′
Cette équation montre que les vecteurs |˜ j ˜
m forment une base standard de
l’espace E(˜ j), à un facteur global multiplicatif près. Ces vecteurs ne seront
pas en général normalisés à un, mais ils auront une norme identique, quel que
soit ˜
m
˜ j ˜
m|˜ j
′ ˜
m
′ = δ ˜
j˜ j ′ δ ˜
m ˜
m ′ α(˜ j)
Inversant (9.148)
V q |jm = |1qjm =
j+1
˜ j=j−1
C
1j
qm;˜ j ˜
m |˜ j ˜
m
14. On remarquera que l’ordre U , U † , ainsi que l’ordre des indices, sont différents de
ceux de (9.143).
Physique quantique : Fondements
Ces composantes sont aussi appelées composantes standard de
V , car dans le
cas où
V est l’opérateur position,
V =
R, les composantes ˆ
r 1 , ˆ
r 0 et ˆ
r −1 du
vecteur ˆ
r ne sont autres que les harmoniques sphériques Y
±
1 et Y
0
1 àunfacteur
3/4π près (cf. (9.64)). Ceci implique d’après (9.65) la loi de transformation
(Rˆ r) m =
m ′
D
(1)
m ′ m (R
−1 )ˆ r m ′
(9.146)
La loi de transformation des composantes sphériques de
V est donc
14
U (R) V q U
† (R)=
q ′
D
(1)
q ′ q (R)V q ′
(9.147)
On pourrait naturellement vérifier cette expression en utilisant les formules
explicites pour D
(1)
et la définition des composantes sphériques.
Notre objectif est de relier les éléments de matrice des diverses composantes d’un opérateur vectoriel entre des états |jm. Pour ce faire, examinons
les propriétés de transformation par rotation du vecteur |1jqm = V q |jm
U (R)|1jqm = U (R)V q U
† (R)U (R)|jm
=
q ′ m ′
D
(1)
q ′ q (R)D
(j)
m ′ m (R)|1jq
′ m
′
Les vecteurs |1jqm se transforment par rotation exactement de la même façon
que les vecteurs |j 1 j 2 m 1 m 2 avec j 1 =1 ,j 2 = j, m 1 = q, m 2 = m.O np e u t
donc construire des vecteurs
|˜ j ˜
m =
m+q=˜ m
C
1j
qm;˜ j ˜
m |1jqm
(9.148)
qui se transforment par rotation suivant la loi
U (R)|˜ j ˜
m =
˜
m ′
D
(˜ j)
˜
m ′ ˜
m |˜ j ˜
m
′
Cette équation montre que les vecteurs |˜ j ˜
m forment une base standard de
l’espace E(˜ j), à un facteur global multiplicatif près. Ces vecteurs ne seront
pas en général normalisés à un, mais ils auront une norme identique, quel que
soit ˜
m
˜ j ˜
m|˜ j
′ ˜
m
′ = δ ˜
j˜ j ′ δ ˜
m ˜
m ′ α(˜ j)
Inversant (9.148)
V q |jm = |1qjm =
j+1
˜ j=j−1
C
1j
qm;˜ j ˜
m |˜ j ˜
m
14. On remarquera que l’ordre U , U † , ainsi que l’ordre des indices, sont différents de
ceux de (9.143).