9. Moment angulaire
335
Par un changement de base effectué grâce à une matrice unitaire dont les
éléments sont les coefficients de C-G C
j1j2
m1m2;jm ,l am a t r i c e
∆
′ (R)=C∆(R)C
−1
devient une matrice diagonale par blocs
C∆(R)C
−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
D
(j1+j2)
0
...
0
0
D
(j1+j2−1)
...
. . .
00
···
. . .
0
...
0 D
(|j1−j2|
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En termes mathématiques, ceci s’appelle réduire le produit de deux représentations D
(j1) et D
(j2) du groupe de rotation en composantes irréductibles
D
(j1) ⊗ D
(j2) = D
(j1+j2) + D
(j1−j2−1) + ···+ D
(|j1−j2|)
(9.141)
9.6.4 Théorème de Wigner-Eckart (opérateurs scalaires
et vectoriels)
Nous avons donné en (7.33) la définition d’un opérateur scalaire S :c ’ e s t
un opérateur qui commute avec
J : [S,
J]=0 . Examinons les éléments de
matrice j
′ m
′ |S|jm de S dans une base standard du moment angulaire
[S,
J
2 ]=0⇒ j
′ = j
[S,J z ]=0⇒ m
′ = m
De plus,
[S,J ± ]=0⇒⇒jm|S|jm = j||S||j ind´ ependant de m
(9.142)
La quantité j||S||j est appelée élément de matrice réduit de S.
Nous passons maintenant aux opérateurs vectoriels
V , dont nous avons
donné la définition en (7.34) : les composantes cartésiennes V k d’un opérateur
vectoriel se transforment par rotation suivant la loi
U
† (R) V k U (R)=
l
R kl V l
(9.143)
En considérant des rotations infinitésimales, nous en avions déduit les relations
de commutation avec les composantes du moment angulaire
[J k ,V l ]=i
p
ε klp V p
(9.144)
Les équations (9.143) et (9.144) sont strictement équivalentes et peuvent servir l’une comme l’autre pour définir un opérateur vectoriel. Il est commode
d’utiliser les composantes sphériques V q de
V
V 1 = −
1
√
2
(V x + iV y )
V 0 = V z
V −1 =
1
√
2
(V x − iV y ) (9.145)
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Par un changement de base effectué grâce à une matrice unitaire dont les
éléments sont les coefficients de C-G C
j1j2
m1m2;jm ,l am a t r i c e
∆
′ (R)=C∆(R)C
−1
devient une matrice diagonale par blocs
C∆(R)C
−1 =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
D
(j1+j2)
0
...
0
0
D
(j1+j2−1)
...
. . .
00
···
. . .
0
...
0 D
(|j1−j2|
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En termes mathématiques, ceci s’appelle réduire le produit de deux représentations D
(j1) et D
(j2) du groupe de rotation en composantes irréductibles
D
(j1) ⊗ D
(j2) = D
(j1+j2) + D
(j1−j2−1) + ···+ D
(|j1−j2|)
(9.141)
9.6.4 Théorème de Wigner-Eckart (opérateurs scalaires
et vectoriels)
Nous avons donné en (7.33) la définition d’un opérateur scalaire S :c ’ e s t
un opérateur qui commute avec
J : [S,
J]=0 . Examinons les éléments de
matrice j
′ m
′ |S|jm de S dans une base standard du moment angulaire
[S,
J
2 ]=0⇒ j
′ = j
[S,J z ]=0⇒ m
′ = m
De plus,
[S,J ± ]=0⇒⇒jm|S|jm = j||S||j ind´ ependant de m
(9.142)
La quantité j||S||j est appelée élément de matrice réduit de S.
Nous passons maintenant aux opérateurs vectoriels
V , dont nous avons
donné la définition en (7.34) : les composantes cartésiennes V k d’un opérateur
vectoriel se transforment par rotation suivant la loi
U
† (R) V k U (R)=
l
R kl V l
(9.143)
En considérant des rotations infinitésimales, nous en avions déduit les relations
de commutation avec les composantes du moment angulaire
[J k ,V l ]=i
p
ε klp V p
(9.144)
Les équations (9.143) et (9.144) sont strictement équivalentes et peuvent servir l’une comme l’autre pour définir un opérateur vectoriel. Il est commode
d’utiliser les composantes sphériques V q de
V
V 1 = −
1
√
2
(V x + iV y )
V 0 = V z
V −1 =
1
√
2
(V x − iV y ) (9.145)