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Physique quantique : Fondements
Les valeurs possibles de j sont donc j = l +1/2 et j = l − 1/2 (sauf si l =0,
auquel cas j = s =1/2). Le moment angulaire orbital et le spin sont couplés
par un potentiel spin-orbite
V so (r)=V (r)
L ·
S
(9.136)
Ce potentiel prend des valeurs différentes selon que j = l +1/2 ou j = l − 1/2 ;
en effet,
(
L +
S)
2 =
J
2 =
L
2 +
S
2 +2
L ·
S
soit
L ·
S =
1
2
j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)
(9.137)
ce qui donne pour le potentiel spin-orbite
V so (r)=
1
2 V (r)l
: j = l +1/2
−
1
2 V (r)(l +1) : j = l − 1/2
(9.138)
Les coefficients de Clebsch-Gordan du couplage spin-orbite sont calculés dans
l’exercice 9.7.18.
9.6.3 Composition des matrices de rotation
La loi de composition des moments angulaires se reflète dans une loi de
composition des matrices de rotation. Considérons les éléments de matrice de
l’opérateur de rotation U (R) entre les états |jm et |jm
′ du type (9.132)
jm|U (R)|jm
′ = D
(j)
mm ′ (R)
=
m1m2
m ′
1 m ′
2
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m ′
1 m ′
2 ;jm ′
j 1 j 2 m 1 m 2 |U (R)|j 1 j 2 m
′
1 m
′
2
d’où
D
(j)
mm ′ (R)=
m1m2
m ′
1 m ′
2
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m ′
1 m ′
2 ;jm ′ D
(j1)
m1m ′
1
(R)D
(j2)
m2m ′
2
(R) (9.139)
Compte tenu des relations d’orthogonalité (9.133) et (9.134) des C-G, on peut
inverser (9.139)
D
(j1)
m1m ′
1
(R)D
(j2)
m2m ′
2
(R)=
j1+j2
|j1−j2|
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m ′
1 m ′
2 ;jm ′ D
(j)
mm ′ (R)
(9.140)
Cette équation peut être interprétée de la manière suivante : dans l’espace
E(j 1 ) ⊗E(j 2 ), on forme la matrice ∆(R), produit tensoriel de D
(j1) (R) et
D
(j2) (R)
∆ m1m2;m ′
1 m ′
2
(R)=D
(j1)
m1m ′
1
(R) ⊗ D
(j2)
m2m ′
2
(R)