9. Moment angulaire
333
Il est instructif de vérifier que la dimension de E est bien correcte (j 1 ≥ j 2 )
dim E =
j1−j2≤j≤j1+j2
(2j +1)
=( j 1 + j 2 )(j 1 + j 2 +1)− (j 1 − j 2 − 1)(j 1 − j 2 )
+(j 1 + j 2 ) − (j 1 − j 2 − 1)
=( 2 j 1 + 1)(2j 2 +1)
On passe de la base orthonormée |j 1 j 2 m 1 m 2 à la base orthonormée |jm par
une transformation unitaire. Les éléments de la matrice unitaire qui effectue cette transformation sont appelés coefficients de Clebsch-Gordan (C-G)
C
j1j2
m1m2;jm
|jm =
m1+m2=m
C
j1j2
m1m2;jm |j 1 j 2 m 1 m 2
(9.132)
qui ne peuvent être différents de zéro que si m = m 1 + m 2 et |j 1 − j 2 |≤j ≤
j 1 + j 2 . On choisit la convention de phase suivante
C
j1j2
m1m2;j,m=j r´ eel ≥ 0
et on peut alors montrer par application de J − que tous les C-G sont réels. Les
coefficients de Clebsch-Gordan sont les éléments d’une matrice unitaire réelle,
les indices matriciels étant (m 1 m 2 ) et (jm). Ils vérifient donc les conditions
d’orthogonalité
j1
m1=−j1
j2
m2=−j2
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m1m2;j ′ m ′ = δ jj ′ δ mm ′
(9.133)
et inversement
j1+j2
j=|j1−j2|
j
m=−j
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m ′
1 m ′
2 ;jm = δ m1m ′
1
δ m2m ′
2
(9.134)
Les équations (9.125) et (9.126) donnent des exemples de C-G
C
1
2
1
2
1
2
1
2 ;11
=1
C
1
2
1
2
1
2 −
1
2 ;10
=
1
√
2
Comme application de la composition des moments angulaires, étudions le
couplage spin-orbite : en raison d’effets relativistes, le moment angulaire orbital et le spin d’un électron atomique, par exemple l’électron de l’atome
d’hydrogène ou l’électron de valence d’un alcalin, ne sont pas indépendants,
comme nous le verrons au § 15.2.2. Le moment angulaire total de l’électron
est la somme de son moment angulaire orbital
L et de son spin
S
J =
L +
S
(9.135)
333
Il est instructif de vérifier que la dimension de E est bien correcte (j 1 ≥ j 2 )
dim E =
j1−j2≤j≤j1+j2
(2j +1)
=( j 1 + j 2 )(j 1 + j 2 +1)− (j 1 − j 2 − 1)(j 1 − j 2 )
+(j 1 + j 2 ) − (j 1 − j 2 − 1)
=( 2 j 1 + 1)(2j 2 +1)
On passe de la base orthonormée |j 1 j 2 m 1 m 2 à la base orthonormée |jm par
une transformation unitaire. Les éléments de la matrice unitaire qui effectue cette transformation sont appelés coefficients de Clebsch-Gordan (C-G)
C
j1j2
m1m2;jm
|jm =
m1+m2=m
C
j1j2
m1m2;jm |j 1 j 2 m 1 m 2
(9.132)
qui ne peuvent être différents de zéro que si m = m 1 + m 2 et |j 1 − j 2 |≤j ≤
j 1 + j 2 . On choisit la convention de phase suivante
C
j1j2
m1m2;j,m=j r´ eel ≥ 0
et on peut alors montrer par application de J − que tous les C-G sont réels. Les
coefficients de Clebsch-Gordan sont les éléments d’une matrice unitaire réelle,
les indices matriciels étant (m 1 m 2 ) et (jm). Ils vérifient donc les conditions
d’orthogonalité
j1
m1=−j1
j2
m2=−j2
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m1m2;j ′ m ′ = δ jj ′ δ mm ′
(9.133)
et inversement
j1+j2
j=|j1−j2|
j
m=−j
C
j1j2
m1m2;jm C
j1j2
m ′
1 m ′
2 ;jm = δ m1m ′
1
δ m2m ′
2
(9.134)
Les équations (9.125) et (9.126) donnent des exemples de C-G
C
1
2
1
2
1
2
1
2 ;11
=1
C
1
2
1
2
1
2 −
1
2 ;10
=
1
√
2
Comme application de la composition des moments angulaires, étudions le
couplage spin-orbite : en raison d’effets relativistes, le moment angulaire orbital et le spin d’un électron atomique, par exemple l’électron de l’atome
d’hydrogène ou l’électron de valence d’un alcalin, ne sont pas indépendants,
comme nous le verrons au § 15.2.2. Le moment angulaire total de l’électron
est la somme de son moment angulaire orbital
L et de son spin
S
J =
L +
S
(9.135)