9. Moment angulaire
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L’opérateur σ 1 · σ 2 est un opérateur scalaire qui commute avec
S, mais non avec
les opérateurs de spin individuels
S 1 et
S 2 .O nr e m a r q u ea u ssi que les états
triplets sont symétriques (c’est-à-dire qu’ils ne changent pas de signe) dans
la permutation des spins 1 et 2, tandis que l’état singulet est antisymétrique
dans cette permutation.
9.6.2 Cas général : composition de deux moments
angulaires
J 1 et
J 2
Nous allons généraliser ce qui précède à la composition de deux moments
angulaires
J 1 et
J 2 . Le raisonnement utilisé en (9.124) peut être répété pour
montrer que
J =
J 1 +
J 2 est le moment angulaire total. Suivant la sous-section
précédente, nous construisons l’espace produit tensoriel à (2j 1 +1)× (2j 2 +1)
dimensions
E = E(j 1 ) ⊗E(j 2 )
Une base possible de cet espace est constituée des vecteurs propres
|j 1 j 2 m 1 m 2 = |j 1 m 1 ⊗|j 2 m 2
(9.129)
communs à
J
2
1 ,
J
2
2 , J 1z et J 2z
J
2
1 |j 1 j 2 m 1 m 2 = j 1 (j 1 +1)|j 1 j 2 m 1 m 2
J
2
2 |j 1 j 2 m 1 m 2 = j 2 (j 2 +1)|j 1 j 2 m 1 m 2
J 1z |j 1 j 2 m 1 m 2 = m 1 |j 1 j 2 m 1 m 2
J 2z |j 1 j 2 m 1 m 2 = m 2 |j 1 j 2 m 1 m 2
Cette base correspond à l’ensemble complet d’opérateurs compatibles
{
J
2
1 ,
J
2
2 ,J 1z ,J 2z }. Nous allons construire une autre base de E, celle où les
opérateurs {
J
2
1 ,
J
2
2 ,
J
2 ,J z } sont diagonaux. Nous partons des deux observations suivantes.
• Tout vecteur |j 1 j 2 m 1 m 2 est vecteur propre de J z avec la valeur propre
m = m 1 + m 2 .
• Si une valeur de j est possible, on doit avoir par application de J + et
J − une série de (2j +1) vecteurs |jm. A priori, on pourrait même avoir
plusieurs séries de vecteurs de ce type, et nous noterons N (j) le nombre
de ces séries pour une valeur de j donnée.
Soit n(m), la dégénérescence de la valeur propre m de J z . Comme m apparaît
si et seulement si j ≥|m|, on aura (figure 9.12)
n(m)=
j≥|m|
N (j)
et par conséquent
N (j)=n(j) − n(j +1)