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Physique quantique : Fondements
forment une base standard pour un moment angulaire 1. Il suffit de vérifier
les propriétés de la base standard pour S z et S − ,c a rS + = S
†
− et
S
2 =
1
2 (S + S − + S − S + )+S
2
z . Le calcul ci-dessus montre que l’on a bien construit
une base standard, par exemple
S − |1, 1 =
j(j +1)− m(m − 1) |1, 0 =
√
2 |1, 0
Il faut enfin, pour obtenir une base de H 1 ⊗H 2 , construire un quatrième
vecteur orthogonal aux trois autres
|0, 0 =
1
√
2
| + −− − | − +
Ce vecteur n’est autre que le vecteur |Φ (2.63). Ce vecteur étant invariant
par rotation correspond à un moment angulaire zéro, et on peut vérifier explicitement que
S z |0, 0 =0
S ± |0, 0 =0
En résumé, en composant deux moments angulaires 1/2, nous avons obtenu
un moment angulaire s =1et un moment angulaire s =0. Une base standard
de
S
2 et de S z est formée des vecteurs correspondant à s =1
s =1
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
|1, 1 = | ++
|1, 0 =
1
√
2
| + − + |−+
|1, −1 = |−−−
(9.125)
et à s =0
s =0
|0, 0 =
1
√
2
| + −− − | − +
(9.126)
Comme nous avons trouvé quatre vecteurs orthogonaux, ces vecteurs forment
une base de H 1 ⊗H 2 et l’ensemble des opérateurs compatibles {
S
2
1 ,
S
2
2 ,
S
2 ,S z },
ou simplement {
S
2 ,S z }, est bien complet. Les états s =1sont appelés états
triplets et l’état s =0, état singulet.
Comme application, diagonalisons l’opérateur ( σ 1 · σ 2 ). Cet opérateur est
diagonal dans la base {
S
2 ,S z }.E ne ff e t ,
S
2 =
1
4
( σ 1 + σ 2 )
2 =
3
2
+
1
2
σ 1 · σ 2
(9.127)
ou
σ 1 · σ 2 =2
S
2 − 3I =[2s(s +1)− 3]I
L’opérateur σ 1 · σ 2 est égal à I dans l’état triplet et à −3I dans l’état singulet.
On en déduit les projecteurs P 1 et P 0 sur les états triplet et singulet
P 0 + P 1 = I σ 1 · σ 2 = −3 P 0 + P 1
d’où
P 0 =
1
4
(I − σ 1 · σ 2 )
P 1 =
1
4
(3 + σ 1 · σ 2 )
(9.128)