9. Moment angulaire
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cette construction en prenant comme espaces à deux dimensions ceux de deux
spins 1/2,
S 1 et
S 2 . Une base possible de H 1 ⊗H 2 est formée des vecteurs
propres |ε 1 ε 2 , ε = ±,d eS 1z et de S 2z
| ++ , | + −− , |−+ et |−−−
(9.120)
Les propriétés physiques diagonales dans cette base sont
S
2
1 ,
S
2
2 , S 1z et S 2z
S
2
1 |ε 1 ε 2 =
3
4
|ε 1 ε 2
S 1z |ε 1 ε 2 = ε 1 |ε 1 ε 2
(9.121)
S
2
2 |ε 1 ε 2 =
3
4
|ε 1 ε 2
S 2z |ε 1 ε 2 = ε 2 |ε 1 ε 2
(9.122)
Cette base correspond au choix suivant d’un ensemble complet d’opérateurs
compatibles : {
S
2
1 ,
S
2
2 ,S 1z ,S 2z }.I le s tpo s s i b l ed ef o r m e ru n ea u t r eb a s ei n t é -
ressante en considérant le moment angulaire total
S obtenu en additionnant
S 1 et
S 2
S =
S 1 +
S 2
(9.123)
S est bien le moment angulaire total, car ilpermetdeconstruire le générateur
infinitésimal dans l’espace produit tensoriel H 1 ⊗H 2 d’une rotation R ˆ
n (θ)
d’angle θ autour d’un axe ˆ
n
U (R ˆ
n (θ)) = e
−iθ(
S1·ˆ n)
e
−iθ(
S2·ˆ n) = e
−iθ(
S·ˆ n)
(9.124)
où nous avons utilisé [
S 1 ,
S 2 ]=0 . Comme
S
2
1 et
S
2
2 sont des opérateurs
scalaires, ils commutent avec
S, et un autre ensemble d’opérateurs compatibles
est {
S
2
1 ,
S
2
2 ,
S
2 ,S z } ; nous vérifierons ultérieurement que cet ensemble est aussi
complet. Cherchons les vecteurs de base de ce nouvel ensemble. Posant |1, 1 =
| ++,o nv é r i fi e
S z |1, 1 = |1, 1
S + |1, 1 =( S 1+ + S 2+ )| ++ =0
S − |1, 1 =( S 1− + S 2− )| ++ = | + −− + |−+ =
√
2 |1, 0
Cette dernière équation définit le vecteur unitaire |1, 0, qui vérifie
S z |1, 0 =(S 1z + S 2z )
1
√
2
| + −− + |−+
=0
Enfin
S − |1, 0 =( S 1− + S 2− )
1
√
2
| + −− + |−+
=
√
2 |−−−=
√
2 |1, −1
S z |1, −1 = −|1, −1
S − |1, −1 =0
Ces équations montrent que les trois vecteurs
{|1, 1, |1, 0, |1, −1}