9. Moment angulaire
323
photon : m =+ 1correspond à une hélicité positive, m = −1 à une hélicité
négative. Comme à un moment angulaire 1 correspondent trois valeurs possibles du nombre quantique magnétique, m =+ 1 ,m=0 ,m= −1,o np e u t
se demander ce que devient la valeur m =0dans le cas du photon. Une analyse générale due à Wigner (section 19.2) montre que pour une particule de
masse nulle et de spin j, les seules valeurs propres permises de J z sont m = j
et m = −j, l’axe Oz étant pris le long de la direction de propagation de la
particule. Lorsque la parité n’est pas une symétrie du hamiltonien, les deux
valeurs possibles sont indépendantes : si le neutrino avait une masse nulle
11
,
le neutrino, particule de spin j =1/2, aurait toujours m = −1/2, et l’antineutrino, particule différente, m =+1/2. Les interactions du photon, qui sont les
interactions électromagnétiques, conservent la parité, ce qui fait que la même
particule peut avoir m =1et m = −1.
Reste à vérifier que la définition (9.103) correspond bien à une base standard du moment angulaire. Nous allons utiliser l’opérateur Y =e x p ( −iπJ y )
qui change la direction de propagation du photon, l’axe Oz restant inchangé.
Son action sur les états de polarisation linéaire est (figure 9.9)
O
x
x
y
y
− x
y
x
y
−
z
z
O
Fig. 9.9 – Action de Y sur les états de polarisation linéaire.
Y |x = −|x
Y |y = |y
On en déduit l’action sur les états de polarisation circulaire |D et |G (3.11)
Y |D = Y
−1
√
2
|x + i|y
=
1
√
2
|x−i|y
= |G
(9.104)
La phase relative des états |D et |G correspond bien à celle d’une base
standard puisque d’après (9.102)
Y |D = Y |1, 1 =(−1)
1−1 |1, −1 = |G
Le choix (3.11) est aussi confirmé par le fait que |D et |G sont donnés par
les mêmes combinaisons que les composantes sphériques ˆ
r 1 , ˆ
r −1 et ˆ
r 0 (9.64)
de ˆ
r.
11. Ce qui a longtemps semblé probable, mais a été contredit par l’expérience : voir
l’exercice 4.4.6. et la note 4 du chapitre 1.
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photon : m =+ 1correspond à une hélicité positive, m = −1 à une hélicité
négative. Comme à un moment angulaire 1 correspondent trois valeurs possibles du nombre quantique magnétique, m =+ 1 ,m=0 ,m= −1,o np e u t
se demander ce que devient la valeur m =0dans le cas du photon. Une analyse générale due à Wigner (section 19.2) montre que pour une particule de
masse nulle et de spin j, les seules valeurs propres permises de J z sont m = j
et m = −j, l’axe Oz étant pris le long de la direction de propagation de la
particule. Lorsque la parité n’est pas une symétrie du hamiltonien, les deux
valeurs possibles sont indépendantes : si le neutrino avait une masse nulle
11
,
le neutrino, particule de spin j =1/2, aurait toujours m = −1/2, et l’antineutrino, particule différente, m =+1/2. Les interactions du photon, qui sont les
interactions électromagnétiques, conservent la parité, ce qui fait que la même
particule peut avoir m =1et m = −1.
Reste à vérifier que la définition (9.103) correspond bien à une base standard du moment angulaire. Nous allons utiliser l’opérateur Y =e x p ( −iπJ y )
qui change la direction de propagation du photon, l’axe Oz restant inchangé.
Son action sur les états de polarisation linéaire est (figure 9.9)
O
x
x
y
y
− x
y
x
y
−
z
z
O
Fig. 9.9 – Action de Y sur les états de polarisation linéaire.
Y |x = −|x
Y |y = |y
On en déduit l’action sur les états de polarisation circulaire |D et |G (3.11)
Y |D = Y
−1
√
2
|x + i|y
=
1
√
2
|x−i|y
= |G
(9.104)
La phase relative des états |D et |G correspond bien à celle d’une base
standard puisque d’après (9.102)
Y |D = Y |1, 1 =(−1)
1−1 |1, −1 = |G
Le choix (3.11) est aussi confirmé par le fait que |D et |G sont donnés par
les mêmes combinaisons que les composantes sphériques ˆ
r 1 , ˆ
r −1 et ˆ
r 0 (9.64)
de ˆ
r.
11. Ce qui a longtemps semblé probable, mais a été contredit par l’expérience : voir
l’exercice 4.4.6. et la note 4 du chapitre 1.