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Physique quantique : Fondements
Ce comportement entraîne pour x →∞
v(x) ∼ e
2αx
e
−αx ∼ a 1 e
αx
qui rend la fonction d’onde non normalisable. La seule façon d’éviter la divergence exponentielle est que le développement (9.90) s’arrête pour une valeur
entière k = n, ce qui ne peut se produire que si αn =1. Les valeurs possibles
de ε sont donc étiquetées par un entier n
ε n = α
2 =
1
n 2
et il en est de même pour celles de l’énergie
E n = E n0 = −
me
4
2
1
n 2 = −
R ∞
n 2
(9.92)
L’exercice 9.7.9 montre que les énergies possibles pour l =0sont de la forme
E nl = −
R ∞
n 2
n = l +1,l +2, ···
(9.93)
Les fonctions d’onde radiales v n0 (x) pour n =1et 2 des états liés de l’atome
d’hydrogène dans l’onde s, normalisées à un, sont données par
v 10 (x)=2 x e
−x
(9.94)
v 20 (x)=
1
√
2
x
1 −
x
2
e
−x/2
(9.95)
La fonction d’onde radiale de l’état n =2, l =1(onde p)e s t
v 21 (x)=
1
2
√
6
x
2
e
−x/2
(9.96)
En conclusion, nous avons obtenu le spectre de l’atome d’hydrogène (figure 9.6). On remarque que les niveaux sont dégénérés, sauf dans le cas n =1.
Pour une valeur donnée de n,t o u t e sl e sv a l e u r sd el comprises entre l =0et
l = n − 1 sont possibles, et la dégénérescence est
G(n)=
n−1
l=0
(2l +1)=n
2
Cette dégénérescence est propre au potentiel coulombien. Le spectre de l’électron externe d’un alcalin est qualitativement semblable à celui de l’atome d’hydrogène (figure 9.7), mais il n’y a plus de dégénérescence. En mécanique classique, le potentiel coulombien présente aussi une particularité remarquable : il
est le seul, avec le potentiel harmonique V (r) ∝ r
2
, pour lequel les trajectoires
Physique quantique : Fondements
Ce comportement entraîne pour x →∞
v(x) ∼ e
2αx
e
−αx ∼ a 1 e
αx
qui rend la fonction d’onde non normalisable. La seule façon d’éviter la divergence exponentielle est que le développement (9.90) s’arrête pour une valeur
entière k = n, ce qui ne peut se produire que si αn =1. Les valeurs possibles
de ε sont donc étiquetées par un entier n
ε n = α
2 =
1
n 2
et il en est de même pour celles de l’énergie
E n = E n0 = −
me
4
2
1
n 2 = −
R ∞
n 2
(9.92)
L’exercice 9.7.9 montre que les énergies possibles pour l =0sont de la forme
E nl = −
R ∞
n 2
n = l +1,l +2, ···
(9.93)
Les fonctions d’onde radiales v n0 (x) pour n =1et 2 des états liés de l’atome
d’hydrogène dans l’onde s, normalisées à un, sont données par
v 10 (x)=2 x e
−x
(9.94)
v 20 (x)=
1
√
2
x
1 −
x
2
e
−x/2
(9.95)
La fonction d’onde radiale de l’état n =2, l =1(onde p)e s t
v 21 (x)=
1
2
√
6
x
2
e
−x/2
(9.96)
En conclusion, nous avons obtenu le spectre de l’atome d’hydrogène (figure 9.6). On remarque que les niveaux sont dégénérés, sauf dans le cas n =1.
Pour une valeur donnée de n,t o u t e sl e sv a l e u r sd el comprises entre l =0et
l = n − 1 sont possibles, et la dégénérescence est
G(n)=
n−1
l=0
(2l +1)=n
2
Cette dégénérescence est propre au potentiel coulombien. Le spectre de l’électron externe d’un alcalin est qualitativement semblable à celui de l’atome d’hydrogène (figure 9.7), mais il n’y a plus de dégénérescence. En mécanique classique, le potentiel coulombien présente aussi une particularité remarquable : il
est le seul, avec le potentiel harmonique V (r) ∝ r
2
, pour lequel les trajectoires