9. Moment angulaire
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D’après la sous-section précédente, nous savons que v(x) ∝ x pour x → 0.
Cherchons le comportement dominant pour x →∞en négligeant le terme en
2/x. Nous avons alors
8
v(x) ∼ exp(±
√
εx )
Le comportement en exp(
√ εx ) est inacceptable car la fonction d’onde ne serait pas normalisable, en raison de la divergence exponentielle. Le seul comportement possible est en exp(−
√
εx ). Afin de prendre en compte l’information
contenue dans le comportement à l’infini, définissons une nouvelle fonction
f (x) par
v(x)=e
−αx f (x)
α
2 = ε
Ce changement de fonction transforme l’équation différentielle pour v(x) en
d
2 f
dx 2 − 2α
df
dx
+
2
x
f =0
(9.89)
Cherchons pour f (x) un développement en puissances de x,s a c h a n tq u e
f (x) ∝ x pour x → 0
f (x)=
∞
k=1
a k x
k
(9.90)
L’équation (9.89) détermine une relation de récurrence sur les coefficients a k
∞
k=1
k(k − 1)a k x
k−2 − 2α
∞
k=1
ka k x
k−1 +2
∞
k=1
a k x
k−1 =0
En remarquant que pour k =1le premier terme de l’équation précédente
s’annule et en réétiquetant k
∞
k=1
[k(k +1)a k+1 − 2(αk − 1)a k ] x
k−1 =0
(9.91)
L’annulation du coefficient de x
k−1 donne une relation entre a k+1 et a k
a k+1 =
2(αk − 1)
k(k +1)
a k
Si l’on fixe arbitrairement a 1 ,t o u sl e sa k se déduisent de a 1 .P o u rk ≫ 1,l a
relation de récurrence est approximativement
a k+1 ≃
2α
k
a k ⇒ a k ≃
(2α)
k
k!
a 1
et
∞
k=1
a k x
k ∼
∞
k=1
(2α)
k
k!
a 1 x
k ∼ a 1 e
2αx
8. En fait, ce comportement n’est déterminé qu’à un polynôme multiplicatif près.