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Physique quantique : Fondements
La masse M dans (9.78) est la masse de l’électron m e , ou plus exactement la
masse réduite µ (exercice 7.5.6)
µ =
m e m p
m e + m p
≃ m e
(9.84)
où m p est la masse du proton. Nous conserverons néanmoins m e dans les
équations, afin de souligner l’ordre de grandeur (à 0.1 % près !) de la masse
pertinente dans ce problème. Le potentiel V (r) est le potentiel coulombien
attractif entre l’électron et le proton
V (r)=−
q
2
e
4πε 0 r
= −
e
2
r
(9.85)
et l’équation (9.78) devient
−
1
2m e
d
2
dr 2 +
l(l +1)
2m e r 2 −
e
2
r
u nl (r)=E nl u nl (r)
(9.86)
Il est toujours conseillé en physique de rendre les équations adimensionnelles
par des changements de variables appropriés. Dans le présent problème, l’unité
de longueur naturelle est le rayon de Bohr (1.41), a 0 =1 /(m e e
2 ) et l’unité
d’énergie le Rydberg
7
(1.42), R ∞ = e
2 /(2a 0 )=m e e
4 /2. Ceci suggère de
définir les quantités sans dimensions x et ε nl
x =
r
a 0
= me
2 rε nl = −
E nl
R ∞
= −
2a 0 E nl
e 2
(9.87)
Dans la suite du calcul, nous nous limitons aux états liés pour lesquels E nl < 0
et donc ε nl > 0, ce qui explique le choix du signe moins. Définissant également
v nl (x)=u nl (r)=u nl (a 0 x)
nous obtenons après simplification par (2m e a
2
0 )
−1
−
d
2
dx 2 +
l(l +1)
x 2 −
2
x
v nl (x)=−ε nl v nl (x)
(9.88)
Nous nous contenterons de déterminer la solution dans le cas l =0 ,c ’ e s t - à -
dire dans l’onde s, en renvoyant le cas général à l’exercice 9.7.9. Afin d’alléger
les notations, nous posons
v n0 (x)=v(x)
ε n0 = ε
et (9.88) devient
d
2 v(x)
dx 2 =
ε −
2
x
v(x)
7. Rappelons que nous avons choisi un système d’unités où =1: si l’on rétablit ,
a 0 = 2 /(mee 2 ) et R∞ = mee 4 /(2 2 ).
Physique quantique : Fondements
La masse M dans (9.78) est la masse de l’électron m e , ou plus exactement la
masse réduite µ (exercice 7.5.6)
µ =
m e m p
m e + m p
≃ m e
(9.84)
où m p est la masse du proton. Nous conserverons néanmoins m e dans les
équations, afin de souligner l’ordre de grandeur (à 0.1 % près !) de la masse
pertinente dans ce problème. Le potentiel V (r) est le potentiel coulombien
attractif entre l’électron et le proton
V (r)=−
q
2
e
4πε 0 r
= −
e
2
r
(9.85)
et l’équation (9.78) devient
−
1
2m e
d
2
dr 2 +
l(l +1)
2m e r 2 −
e
2
r
u nl (r)=E nl u nl (r)
(9.86)
Il est toujours conseillé en physique de rendre les équations adimensionnelles
par des changements de variables appropriés. Dans le présent problème, l’unité
de longueur naturelle est le rayon de Bohr (1.41), a 0 =1 /(m e e
2 ) et l’unité
d’énergie le Rydberg
7
(1.42), R ∞ = e
2 /(2a 0 )=m e e
4 /2. Ceci suggère de
définir les quantités sans dimensions x et ε nl
x =
r
a 0
= me
2 rε nl = −
E nl
R ∞
= −
2a 0 E nl
e 2
(9.87)
Dans la suite du calcul, nous nous limitons aux états liés pour lesquels E nl < 0
et donc ε nl > 0, ce qui explique le choix du signe moins. Définissant également
v nl (x)=u nl (r)=u nl (a 0 x)
nous obtenons après simplification par (2m e a
2
0 )
−1
−
d
2
dx 2 +
l(l +1)
x 2 −
2
x
v nl (x)=−ε nl v nl (x)
(9.88)
Nous nous contenterons de déterminer la solution dans le cas l =0 ,c ’ e s t - à -
dire dans l’onde s, en renvoyant le cas général à l’exercice 9.7.9. Afin d’alléger
les notations, nous posons
v n0 (x)=v(x)
ε n0 = ε
et (9.88) devient
d
2 v(x)
dx 2 =
ε −
2
x
v(x)
7. Rappelons que nous avons choisi un système d’unités où =1: si l’on rétablit ,
a 0 = 2 /(mee 2 ) et R∞ = mee 4 /(2 2 ).