9. Moment angulaire
315
Il est possible d’analyser le comportement des fonctions d’onde u n ′ l (r) pour
r → 0. En effet, dans tous les cas d’intérêt physique, le terme de barrière
centrifuge est le plus singulier lorsque r → 0 et il contrôle le comportement de
u l (r) dans cette limite. Si l’on suppose un comportement en loi de puissances
6
r → 0:u l (r) ∝ r
α
et que l’on reporte dans (9.78), on obtient pour les deux termes les plus
singuliers en r
α−2
−
1
2M
α(α − 1)r
α−2 +
l(l +1)
2M
r
α−2 =0
ce qui implique
α(α − 1) = l(l +1)
soit α = l +1 ou α = −l. La seconde valeur est exclue car l’intégrale dans
(9.80) divergerait à l’origine, sauf si l =0. Cependant, pour l =0, une solution
u 0 (r) ∝ cste, soit ψ l ( r ) ∝ 1/r, bien que normalisable, n’est pas acceptable car
elle ne peut pas être solution de l’équation de Schrödinger ; en effet
∇
2 1
r
= −4πδ( r)
En résumé, le comportement des fonctions d’onde radiales pour r → 0 est
r → 0:u l (r) ∝ r
l+1
(9.82)
La fonction d’onde radiale s’annule à l’origine. Ceci peut se comprendre intuitivement : comme 0
la fonction d’onde doit s’annuler. Toutefois, les solutions en r
−l peuvent être
utiles dans la résolution de l’équation de Schrödinger lorsque l’on se trouve
dans une région où r est strictement positif.
L’exemple de l’atome d’hydrogène, étudié dans la sous-section suivante,
conduit à redéfinir le nombre quantique radial (ou principal)
n
′ → n = n
′ + l +1
(9.83)
9.4.2 Atome d’hydrogène
Les résultats de la sous-section précédente permettent d’aborder le calcul
des niveaux d’énergie et des fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène, un des
rares problèmes physiques pour lesquels on dispose d’une solution analytique.
6. La loi de puissances donnant le comportement à l’origine ne dépend pas du nombre
quantique n ′ ou de k, et nous supprimons la dépendance en n ′ ou en k.
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Il est possible d’analyser le comportement des fonctions d’onde u n ′ l (r) pour
r → 0. En effet, dans tous les cas d’intérêt physique, le terme de barrière
centrifuge est le plus singulier lorsque r → 0 et il contrôle le comportement de
u l (r) dans cette limite. Si l’on suppose un comportement en loi de puissances
6
r → 0:u l (r) ∝ r
α
et que l’on reporte dans (9.78), on obtient pour les deux termes les plus
singuliers en r
α−2
−
1
2M
α(α − 1)r
α−2 +
l(l +1)
2M
r
α−2 =0
ce qui implique
α(α − 1) = l(l +1)
soit α = l +1 ou α = −l. La seconde valeur est exclue car l’intégrale dans
(9.80) divergerait à l’origine, sauf si l =0. Cependant, pour l =0, une solution
u 0 (r) ∝ cste, soit ψ l ( r ) ∝ 1/r, bien que normalisable, n’est pas acceptable car
elle ne peut pas être solution de l’équation de Schrödinger ; en effet
∇
2 1
r
= −4πδ( r)
En résumé, le comportement des fonctions d’onde radiales pour r → 0 est
r → 0:u l (r) ∝ r
l+1
(9.82)
La fonction d’onde radiale s’annule à l’origine. Ceci peut se comprendre intuitivement : comme 0
la fonction d’onde doit s’annuler. Toutefois, les solutions en r
−l peuvent être
utiles dans la résolution de l’équation de Schrödinger lorsque l’on se trouve
dans une région où r est strictement positif.
L’exemple de l’atome d’hydrogène, étudié dans la sous-section suivante,
conduit à redéfinir le nombre quantique radial (ou principal)
n
′ → n = n
′ + l +1
(9.83)
9.4.2 Atome d’hydrogène
Les résultats de la sous-section précédente permettent d’aborder le calcul
des niveaux d’énergie et des fonctions d’onde de l’atome d’hydrogène, un des
rares problèmes physiques pour lesquels on dispose d’une solution analytique.
6. La loi de puissances donnant le comportement à l’origine ne dépend pas du nombre
quantique n ′ ou de k, et nous supprimons la dépendance en n ′ ou en k.