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Physique quantique : Fondements
Le terme l(l +1)/(2Mr
2 ) est appelé terme de barrière centrifuge.C et e r m e
est aussi présent en mécanique classique, où l’énergie peut s’écrire
E =
1
2
MM v
2 + V (r)=
1
2
M (v
2
r + ω
2 r
2 )+V (r)
v r est la vitesse radiale et ω la vitesse angulaire. Comme
5 l = Mωr
2
et que l
est constant dans le cas d’une force centrale
E =
1
2
Mv
2
r +
l
2
2Mr 2 + V (r)=
1
2
Mv
2
r + V l (r)
Le terme l
2 /(2Mr
2 ) correspond à la force centrifuge
−
d
dr
l
2
2Mr 2
=
l
2
Mr 3 = Mω
2 r
Ce terme tend à éloigner la particule du centre de force et correspond à un
potentiel répulsif. En mécanique quantique, on remplacera pour chaque valeur
de l l’opérateur
L
2
par sa valeur propre l(l+1), et au potentiel V (r) s’ajoutera
un potentiel répulsif l(l +1)/(2Mr
2 ).
Toutes les fonctions ψ lm ( r) de type (9.77) avec u l (r) solution de (9.78) ne
sont pas acceptables physiquement. En effet, si la fonction ψ lm ( r ) représente
un état lié, elle doit obéir à la condition de normalisation
d
3 r |ψ lm ( r)|
2 =1
(9.80)
Si ψ lm ( r) représente un état de diffusion, un comportement à l’infini en onde
plane plus onde sphérique exp(±ikr)/r est acceptable (cf. (9.81)). Dans le cas
d’un état lié, l’équation (9.78) possède en général, à l fixé, plusieurs solutions :
en effet, cette équation est identique à celle d’un problème unidimensionnel
dans l’intervalle ]0, +∞[,car0
nombre quantique supplémentaire n
′ : n
′ =0, 1, 2, ... La fonction d’onde et
l’énergie seront notées u n ′ l (r) et E n ′ l . Si le potentiel V (r) est suffisamment
régulier, on montre que n
′ est égal au nombre de zéros, aussi appelé nombre de
nœuds, de la fonction d’onde radiale u n ′ l (r) (cf. § 8.3.3). Le nombre quantique
n
′ classe les valeurs de l’énergie par ordre croissant
n
′
1 >n
′
2 ⇒ E n ′
1 l >E n ′
2 l
Nous montrerons au chapitre 13 que les fonctions d’onde des états de diffusion
sont étiquetées par le vecteur d’onde k
r →∞ : ψ k ( r) ≃ e
i k· r + f (θ, φ)
e
±ikr
r
(9.81)
5. Suivant notre convention habituelle, les lettres minuscules désignent des quantités
classiques (nombres), ou des nombres quantiques.
Physique quantique : Fondements
Le terme l(l +1)/(2Mr
2 ) est appelé terme de barrière centrifuge.C et e r m e
est aussi présent en mécanique classique, où l’énergie peut s’écrire
E =
1
2
MM v
2 + V (r)=
1
2
M (v
2
r + ω
2 r
2 )+V (r)
v r est la vitesse radiale et ω la vitesse angulaire. Comme
5 l = Mωr
2
et que l
est constant dans le cas d’une force centrale
E =
1
2
Mv
2
r +
l
2
2Mr 2 + V (r)=
1
2
Mv
2
r + V l (r)
Le terme l
2 /(2Mr
2 ) correspond à la force centrifuge
−
d
dr
l
2
2Mr 2
=
l
2
Mr 3 = Mω
2 r
Ce terme tend à éloigner la particule du centre de force et correspond à un
potentiel répulsif. En mécanique quantique, on remplacera pour chaque valeur
de l l’opérateur
L
2
par sa valeur propre l(l+1), et au potentiel V (r) s’ajoutera
un potentiel répulsif l(l +1)/(2Mr
2 ).
Toutes les fonctions ψ lm ( r) de type (9.77) avec u l (r) solution de (9.78) ne
sont pas acceptables physiquement. En effet, si la fonction ψ lm ( r ) représente
un état lié, elle doit obéir à la condition de normalisation
d
3 r |ψ lm ( r)|
2 =1
(9.80)
Si ψ lm ( r) représente un état de diffusion, un comportement à l’infini en onde
plane plus onde sphérique exp(±ikr)/r est acceptable (cf. (9.81)). Dans le cas
d’un état lié, l’équation (9.78) possède en général, à l fixé, plusieurs solutions :
en effet, cette équation est identique à celle d’un problème unidimensionnel
dans l’intervalle ]0, +∞[,car0
nombre quantique supplémentaire n
′ : n
′ =0, 1, 2, ... La fonction d’onde et
l’énergie seront notées u n ′ l (r) et E n ′ l . Si le potentiel V (r) est suffisamment
régulier, on montre que n
′ est égal au nombre de zéros, aussi appelé nombre de
nœuds, de la fonction d’onde radiale u n ′ l (r) (cf. § 8.3.3). Le nombre quantique
n
′ classe les valeurs de l’énergie par ordre croissant
n
′
1 >n
′
2 ⇒ E n ′
1 l >E n ′
2 l
Nous montrerons au chapitre 13 que les fonctions d’onde des états de diffusion
sont étiquetées par le vecteur d’onde k
r →∞ : ψ k ( r) ≃ e
i k· r + f (θ, φ)
e
±ikr
r
(9.81)
5. Suivant notre convention habituelle, les lettres minuscules désignent des quantités
classiques (nombres), ou des nombres quantiques.