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Physique quantique : Fondements
est invariant par rotation : [H,
J]=0 . Dans notre problème, seul intervient
le moment angulaire orbital, puisque les seuls opérateurs dont nous disposons
sont
P et
R
[H,
L]=0 ou [H, L x ]=[H, L y ]=[H, L z ]=0
(9.73)
Dans l’espace L
(2)
r (R
3 ), l’opérateur énergie cinétique est proportionnel au laplacien ∇
2
−
P
2 = −(−i∇)
2 = ∇
2 =
1
r
∂
2
∂r 2 r +
1
r 2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2 θ
∂
2
∂φ 2
(9.74)
en écrivant le laplacien en cordonnées sphériques. Comparant avec (9.49), on
reconnaît dans la partie angulaire du laplacien l’opérateur
L
2
∇
2 =
1
r
∂
2
∂r 2 r −
1
r 2
L
2
(9.75)
Cette équation confirme la relation de commutation [H,
L]=0 , puisque
[
L
2 ,
L]=0et que la partie radiale du laplacien, qui ne dépend pas des angles,
commute manifestement avec
L. Nous pouvons donc écrire le hamiltonien
(9.72)
H = −
1
2M
1
r
∂
2
∂r 2 r +
1
2Mr 2
L
2 + V (r)
(9.76)
Compte tenu de leurs relations de commutation, nous savons qu’il est possible
de diagonaliser simultanément H,
L
2
et L z .S o i tψ lm ( r) une fonction propre
commune à ces trois opérateurs. Comme il n’existe qu’un seul harmonique
sphérique (l, m), si
L
2 ψ lm = l(l +1)ψ lm et L z ψ lm = mψ lm
alors ψ lm doit être proportionnel
4
à Y
m
l
ψ lm (r, θ, φ)=f l (r)Y
m
l (θ, φ)=
u l (r)
r
Y
m
l (θ, φ)
(9.77)
Il est commode de factoriser 1/r : u l (r) est la fonction d’onde radiale.E x a -
minons l’action de H sur ψ lm
Hψ lm (r, θ, φ)=
−
1
2M
1
r
∂
2
∂r 2 u l (r)+
l(l +1)
2Mr 2 + V (r)
u l (r)
r
Y
m
l (θ, φ)
L’équation aux valeurs propres
Hψ lm = E l ψ lm
4. Nous anticipons sur le fait, prouvé quelques lignes plus bas, que f l ne dépend pas de
m.