9. Moment angulaire
311
dimensions R
3
est la matrice −I,quicomm uteav ectoutematricederotation
R,d ’ o ù
[U (R), Π] = 0 =⇒ [
J,Π] = 0 et [
L, Π] = 0
(9.69)
Ceci implique les équations
L
2 Π Y
m
l
=Π
L
2 Y
m
l = l(l +1)ΠY
m
l
L z Π Y
m
l
=Π L z Y
m
l = mΠ Y
m
l
qui montrent que Π Y
m
l
est proportionnel à Y
m
l
ΠY
m
l = α(l, m)Y
m
l
Y
m
l est donc fonction propre de Π et comme Π
2 = I, α(l, m)=±1. Montrons
que α(l, m) est en fait indépendant de m en utilisant le fait que L + commute
avec Π
L + Π Y
m
l
= α(l, m)L + Y
m
l = α(l, m)[l(l +1)− m(m +1)]
1/2 Y
m+1
l
=Π L + Y
m
l =[l(l +1)− m(m +1)]
1/2 Π Y
m+1
l
=[ l(l +1)− m(m +1)]
1/2 α(l, m +1)Y
m+1
l
ce qui entraîne que α(l, m +1)=α(l, m) : α(l, m) est indépendant de m et
[Π Y
m
l ](ˆ r)=α(l)Y
m
l (ˆ r)=Y
m
l (−ˆ r)
La transformation ˆ
r →−ˆ r correspond à
θ → π − θφ → φ + π
(9.70)
Si m =0 , Y
0
l ∝ P l (cos θ) ; d’après (9.62) et compte tenu de P l (−u)=
(−1)
l P l (u),o nt r o u v eα(l)=(−1)
l
et
Y
m
l (θ, φ)=(−1)
l Y
m
l (π − θ, φ + π)o uY
m
l (ˆ r)=(−1)
l Y
m
l (−ˆ r)
(9.71)
9.4 Particule dans un potentiel central
9.4.1 Équation d’onde radiale
Nous allons utiliser les résultats précédents pour montrer que l’équation de
Schrödinger à trois dimensions, qui est une équation aux dérivées partielles, se
ramène à une équation différentielle ordinaire lorsque le potentiel est central,
c’est-à-dire invariant par rotation
V ( r )=V (| r |)=V (r)
Dans ce cas, comme l’énergie cinétique est un opérateur scalaire, le hamiltonien total pour une particule de masse M
H =
P
2
2M
+ V (r)
(9.72)