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Physique quantique : Fondements
Ces formules justifient les conventions de phase utilisées pour les polarisations
droite et gauche dans (3.11).
3. Transformation par rotation. En multipliant à gauche la relation (9.26)
écrite pour j = l par le bra ˆ r |,o no b t i e n t
Y
m
l (R
−1 ˆ
r)=
m ′
D
(l)
m ′ m (R) Y
m
′
l (ˆ r)
(9.65)
On peut montrer également (exercice 9.7.6) une relation entre harmoniques
sphériques et matrices de rotation
D
(l)
m0 (θ, φ)=
4π
2l +1
[Y
m
l (θ, φ)]
∗
(9.66)
On déduit de ces deux équations le théorème d’addition des harmoniques
sphériques. En effet, prenant ˆ
r suivant la direction d’angles polaires (α, β),
soit R la rotation d’angles (θ, φ) amenant ˆ
z sur ˆ
n,e tΘ l’angle entre ˆ
r et la
direction définie par les angles (θ, φ) (figure 9.4)
β
x
z
y
θ
α
φ
Fig. 9.4 – Configuration des angles dans (9.67).
cosΘ=cosα cos θ +sinα sin θ cos(β − φ)
L’angle Θ entre R
−1 ˆ
r et l’axe des z est le même que l’angle entre ˆ
n et ˆ
r.I l
suffit alors de choisir m =0dans (9.65) pour obtenir
P l (cos Θ) =
4π
2l +1
l
m=−l
[Y
m
l (θ, φ)]
∗ Y
m
l (α, β)
(9.67)
4. Parité des harmoniques sphériques. L’opérateur parité Π défini au § 7.3.3
agit sur une fonction d’onde ψ( r ) suivant
[Πψ]( r)=ψ(− r)
(9.68)
Π commute avec le moment angulaire orbital
L, et plus généralement avec
J.
En effet, la matrice représentative de l’opérateur parité dans l’espace à trois