9. Moment angulaire
309
2. Relation avec les polynômes de Legendre. Une définition possible des polynômes de Legendre P l (u) est
P l (u)=
1
2 l l!
d
l
du l (u
2 − 1)
l
(9.58)
P l (u) est un polynôme de degré l,d ep a r i t é(−1)
l
P l (−u)=(−1)
l P l (u)
Les polynômes de Legendre forment un système complet de polynômes orthogonaux dans l’intervalle [−1, +1]. Les premiers polynômes de Legendre sont
P 0 (u)=1
P 1 (u)=uP 2 (u)=
1
2
(3u
2 − 1)
(9.59)
Les fonctions de Legendre associées P
m
l (u) sont définies par
P
m
l (u)=(1− u
2 )
m/2 d
m
du m P l (u)
P
0
l (u)=P l (u)
(9.60)
et on montre que les harmoniques sphériques sont reliés aux P
m
l par
Y
m
l (θ, φ)=(−1)
m
(2l +1)
4π
(l − m)!
(l + m)!
1/2
P
m
l (cos θ) e
imφ : m>0
Y
m
l (θ, φ)=(−1)
m [Y
−m
l
(θ, φ)]
∗
: m<0
(9.61)
D’après (9.53), Y
0
l est indépendant de φ et est proportionnel à P l (cos θ)
Y
0
l (θ, φ)=
2l +1
4π
P l (cos θ)
(9.62)
Comme cas particuliers, écrivons Y
m
l
pour l =0et l =1
l =0 Y
0
0 =
1
4π
l =1 Y
0
1 =
3
4π
cos θ =
3
4π
ˆ
r 0
Y
±
1 = ∓
3
8π
e
±iφ sin θ =
3
4π
ˆ
r ±1
(9.63)
À un facteur de normalisation
3/4π près, les Y
m
1 ne sont pas autre chose
que les composantes sphériques du vecteur unitaire ˆ
r
ˆ
r =(sinθ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)
Y
0
1 =
3
4π
ˆ
r 0
Y
±
1 = ∓
3
4π
ˆ
r x ± iˆ r y
√
2
=
3
4π
ˆ
r ±1
(9.64)
309
2. Relation avec les polynômes de Legendre. Une définition possible des polynômes de Legendre P l (u) est
P l (u)=
1
2 l l!
d
l
du l (u
2 − 1)
l
(9.58)
P l (u) est un polynôme de degré l,d ep a r i t é(−1)
l
P l (−u)=(−1)
l P l (u)
Les polynômes de Legendre forment un système complet de polynômes orthogonaux dans l’intervalle [−1, +1]. Les premiers polynômes de Legendre sont
P 0 (u)=1
P 1 (u)=uP 2 (u)=
1
2
(3u
2 − 1)
(9.59)
Les fonctions de Legendre associées P
m
l (u) sont définies par
P
m
l (u)=(1− u
2 )
m/2 d
m
du m P l (u)
P
0
l (u)=P l (u)
(9.60)
et on montre que les harmoniques sphériques sont reliés aux P
m
l par
Y
m
l (θ, φ)=(−1)
m
(2l +1)
4π
(l − m)!
(l + m)!
1/2
P
m
l (cos θ) e
imφ : m>0
Y
m
l (θ, φ)=(−1)
m [Y
−m
l
(θ, φ)]
∗
: m<0
(9.61)
D’après (9.53), Y
0
l est indépendant de φ et est proportionnel à P l (cos θ)
Y
0
l (θ, φ)=
2l +1
4π
P l (cos θ)
(9.62)
Comme cas particuliers, écrivons Y
m
l
pour l =0et l =1
l =0 Y
0
0 =
1
4π
l =1 Y
0
1 =
3
4π
cos θ =
3
4π
ˆ
r 0
Y
±
1 = ∓
3
8π
e
±iφ sin θ =
3
4π
ˆ
r ±1
(9.63)
À un facteur de normalisation
3/4π près, les Y
m
1 ne sont pas autre chose
que les composantes sphériques du vecteur unitaire ˆ
r
ˆ
r =(sinθ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)
Y
0
1 =
3
4π
ˆ
r 0
Y
±
1 = ∓
3
4π
ˆ
r x ± iˆ r y
√
2
=
3
4π
ˆ
r ±1
(9.64)