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Physique quantique : Fondements
trouver cette droite orientée suivant la direction (θ, φ). Le spectre des niveaux
de rotation est donné sur la figure 9.3, et il reproduit bien les données expérimentales sur les spectres des molécules diatomiques. Une justification plus
complète de (9.54) sera donnée au § 16.3.2.
4
j = 0
j = 1
j = 2
j = 3
j = 4
1
2
3
Fig. 9.3 – Spectre du rotateur sphérique. Le niveau j est séparé du niveau (j − 1)
par j/I,o u
2 j/I si l’on rétablit .
9.3.2 Propriétés des harmoniques sphériques
Nous allons maintenant résumer les principales propriétés des harmoniques
sphériques, celles qui sont les plus souvent utilisées.
1. Base sur la sphère unité. Les harmoniques sphériques forment une base
orthonormée pour les fonctions de carré sommable sur la sphère unité r
2 =1
sin θ dθ dφ [Y
m
′
l ′ (θ, φ)]
∗ Y
m
l (θ, φ)=
dΩ[Y
m
′
l ′ (θ, φ)]
∗ Y
m
l (θ, φ)=δ l ′ l δ m ′ m
(9.55)
On utilise fréquemment la notation angle solide : Ω=(θ, φ) et
dΩ=sinθ dθ dφ = d
2 ˆ
r
(9.56)
Si une fonction f (θ, φ) est de carré sommable sur la sphère unité, on peut
écrire un développement analogue à un développement de Fourier
f (θ, φ)=
l.m
c lm Y
m
l (θ, φ)
(9.57)
c lm =
dΩ[Y
m
l (θ, φ)]
∗ f (θ, φ)