9. Moment angulaire
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L’equation (9.52) devient, compte tenu de (9.47)
[L z Y
m
l ](θ, φ)=−i
∂
∂φ
Y
m
l (θ, φ)=mY
m
l (θ, φ)
ce qui implique
Y
m
l (θ, φ)=e
imφ f
m
l (θ)
(9.53)
La loi de tranformation (9.40) montre que dans une rotation de 2π la fonction
d’onde est inchangée, et qu’il ne s’introduit donc aucun signe (−) dans une
telle rotation. Ceci implique que les moments angulaires orbitaux sont toujours
entiers.
θ
z
x
φ
y
Fig. 9.2 – Rotateur sphérique.
Une application simple et importante est le rotateur sphérique : considérons une molécule diatomique en rotation autour de son centre de masse
pris comme origine des coordonnées (figure 9.2 et exercice 1.6.1). Son moment d’inertie est I = µr
2
0 ,o ùµ est la masse réduite et r 0 la distance entre
les noyaux (la contribution des électrons est négligeable). Si ω est la vitesse
angulaire de rotation, le hamiltonien classique H cl est
H cl =
1
2
Iω
2 =
1
2
(Iω)
2
I
=
l
2
2I
où l = Iω est le moment angulaire. La version quantique du hamiltonien est
H =
L
2
2I
et les valeurs de l’énergie sont
E l =
l(l +1)
2I
(9.54)
Les fonctions propres sont les Y
m
l (θ, φ), où les angles θ et φ donnent l’orientation de la droite joignant les deux noyaux : Y
m
l (θ, φ) est l’amplitude pour