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Physique quantique : Fondements
On peut vérifier ces relations par un calcul explicite utilisant les relations
de commutation canoniques (7.45) : exercice 9.7.5. On note |lm les vecteurs
propres de
L
2
et de L z
L
2 |lm = l(l +1)|lm
(9.45)
L z |lm = m|lm
(9.46)
Ces équations peuvent être transformées en équations différentielles, si l’on
écrit les opérateurs L j sous forme d’opérateurs différentiels agissant dans
L
(2) (R
3 ). Le calcul est laborieux si l’on effectue le changement de variables
(x, y, z) → (r, θ, φ) mais il se simplifie si l’on utilise la propriété des L i d’être
les générateurs infinitésimaux des rotations. Le cas de L z est particulièrement
simple : considérant ψ comme fonction de (r, θ, φ),n o u sa v o n s
e
−iαLz ψ
(r, θ, φ)=ψ(r, θ, φ − α)
et en prenant α infinitésimal
[(I − iαL z )ψ](r, θ, φ)=ψ(r, θ, φ) − α
∂ψ
∂φ
soit L z ψ = −i(∂ψ/∂φ).L ec a l c u ld eL x et L y prend quelques lignes de plus,
car dans une rotation autour de Ox ou autour de Oy, les angles θ et φ varient
tous les deux ; on trouve (exercice 9.7.5)
L z = −i
∂
∂φ
(9.47)
L ± = ie
±iφ
cot θ
∂
∂φ
∓ i
∂
∂θ
(9.48)
L
2
= −
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2 θ
∂
2
∂φ 2
(9.49)
Les opérateurs L j dépendent seulement des angles,etnonder, d’où la dénomination moment angulaire. Les fonctions propres de
L
2 et de L z ne dépendent
que des angles θ et φ ou, de façon équivalente, de ˆ
r. Ces fonctions propres
sont appelées harmoniques sphériques
Y
m
l (θ, φ)=Y
m
l (ˆ r)=ˆ r|lm
(9.50)
Les équations (9.45) et (9.46) deviennent
[
L
2 Y
m
l ](ˆ r)=ˆ r |
L
2 |lm = l(l +1)Y
m
l (ˆ r)
(9.51)
[L z Y
m
l ](ˆ r)=ˆ r |L z |lm = mY
m
l (ˆ r)
(9.52)
tandis que (9.15) s’écrit
[L ± Y
m
l ](ˆ r)=ˆ r |L ± |lm =[l(l +1)− m(m +1)]
1/2 Y
m±1
l
(ˆ r)