9. Moment angulaire
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ce qui montre que l’on peut définir le vecteur d’état |R r , c’est-à-dire fixer sa
phase, par
|R r ≡U (R)| r
(9.41)
Si |ψ
′ est le transformé par U (R) de |ψ : |ψ
′ = U (R)|ψ,a l o r s
ψ
′ ( r )= r |ψ
′ = r |U (R)|ψ = U
† (R) r |ψ
= U
−1 (R) r |ψ = R
−1 r |ψ = ψ(R
−1 r)
ce qui démontre (9.40). À première vue, l’argument R
−1
dans (9.40) qui s’écrit
aussi
[U (R)ψ]( r)=ψ(R
−1 r)
peut surprendre, mais nous avons déjà rencontré une situation analogue pour
les translations dans l’équation (8.15), écrite ci-dessous dans le cas de la dimension 3 avec =1
e
−i
P · a ψ
( r)=ψ( r − a)
alors que
3
e
−i
P · a | r = | r + a
La transformée par translation de a de la fonction ψ( r) est bien ψ( r − a) et
non ψ( r + a) ! Si l’angle de rotation φ devient infinitésimal pour une rotation
autour de Oz
U [R z (φ)] ≃ I − iφJ z
et d’après (9.40)
[(I − iφJ z )ψ]( r) ≃ ψ(x + yφ, −xφ + y, z)
≃ ψ( r)+φ
y
∂ψ
∂x
− x
∂ψ
∂y
= ψ( r) − iφ(XP y − YP x )ψ
d’où
[J z ψ]( r)=[(XP y − YP x )ψ]( r)=[(
R ×
P ) z ψ]( r)=(
L z ψ)( r)
(9.42)
L’opérateur moment angulaire de la particule décrite par une fonction d’onde
ψ( r) est appelé moment angulaire orbital (car associé au mouvement d’une
particule sur une orbite dans l’espace), et il est en général noté
L
L =
R ×
P
(9.43)
L a été construit comme générateur infinitésimal de rotations et vérifie nécessairement les relations de commutation d’un moment angulaire (9.1) ou
(9.2)
[L j ,L k ]=i
l
ε jkl L l
(9.44)
3. On remarquera que cette équation fixe la phase du vecteur | r + a relativement à celle
de | r , de même que (9.41) fixe la phase de |R r relativement à celle de | r .