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Physique quantique : Fondements
angulaire un, les lignes et les colonnes étant rangées dans l’ordre m =1, 0, −1
(exercice 9.7.4)
d
(1) (θ)=
⎛
⎜
⎝
1
2 (1 + cos θ) −
1
√
2
sin θ
1
2 (1 − cos θ)
1
√
2
sin θ
cos θ
−
1
√
2
sin θ
1
2 (1 − cos θ)
1
√
2
sin θ
1
2 (1 + cos θ)
⎞
⎟
⎠
(9.39)
On vérifie que les matrices d
(1/2)
et d
(1)
obéissent aux propriétés de symétrie
(9.36) et (9.37).
9.3 Moment angulaire orbital
9.3.1 Opérateur moment angulaire orbital
Considérons un champ scalaire classique ψ( r ) et faisons, lui subir une
rotation R z (φ) d’angle φ autour de Oz ;s o i t r
′ = R r le vecteur transformé
du vecteur r dans cette rotation
x
′ = x cos φ − y sin φ
y
′ = x sin φ + y cos φ
z
′ = z
La valeur du champ scalaire transformé ψ
′ ( r) au point r
′
doit être identique
às av a l e u ra up o i n t r
ψ
′ ( r
′ )=ψ( r)
ou encore
ψ
′ ( r)=ψ(R
−1 r)
(9.40)
Cette loi de transformation est correcte pour un champ scalaire classique,
mais si ψ( r ) est une fonction d’onde, ψ(R
−1 r) et ψ
′ ( r) pourraient a priori
différer par un facteur de phase
ψ
′ ( r)=e
iθ( r) ψ(R
−1 r)
(voir la discussion suivant (8.17)). En toute rigueur, nous savons seulement
que |ψ
′ ( r
′ )| = |ψ( r)| et nous devons montrer que le facteur de phase éventuel
est absent. Le vecteur U (R)| r représente physiquement un état propre de
l’opérateur position
R, obtenu à partir de l’état propre | r de
R par une
rotation U (R). Vérifions-le explicitement en utilisant le fait que
R est un
opérateur vectoriel dont les composantes X k se transforment suivant (8.34)
X k [U (R)| r ]=U (R)U
−1 (R)X k U (R)| r
= U (R)
l
R kl X l
| r = U (R)
l
R kl x l
| r
=( R r ) k [U (R)| r ]
Physique quantique : Fondements
angulaire un, les lignes et les colonnes étant rangées dans l’ordre m =1, 0, −1
(exercice 9.7.4)
d
(1) (θ)=
⎛
⎜
⎝
1
2 (1 + cos θ) −
1
√
2
sin θ
1
2 (1 − cos θ)
1
√
2
sin θ
cos θ
−
1
√
2
sin θ
1
2 (1 − cos θ)
1
√
2
sin θ
1
2 (1 + cos θ)
⎞
⎟
⎠
(9.39)
On vérifie que les matrices d
(1/2)
et d
(1)
obéissent aux propriétés de symétrie
(9.36) et (9.37).
9.3 Moment angulaire orbital
9.3.1 Opérateur moment angulaire orbital
Considérons un champ scalaire classique ψ( r ) et faisons, lui subir une
rotation R z (φ) d’angle φ autour de Oz ;s o i t r
′ = R r le vecteur transformé
du vecteur r dans cette rotation
x
′ = x cos φ − y sin φ
y
′ = x sin φ + y cos φ
z
′ = z
La valeur du champ scalaire transformé ψ
′ ( r) au point r
′
doit être identique
às av a l e u ra up o i n t r
ψ
′ ( r
′ )=ψ( r)
ou encore
ψ
′ ( r)=ψ(R
−1 r)
(9.40)
Cette loi de transformation est correcte pour un champ scalaire classique,
mais si ψ( r ) est une fonction d’onde, ψ(R
−1 r) et ψ
′ ( r) pourraient a priori
différer par un facteur de phase
ψ
′ ( r)=e
iθ( r) ψ(R
−1 r)
(voir la discussion suivant (8.17)). En toute rigueur, nous savons seulement
que |ψ
′ ( r
′ )| = |ψ( r)| et nous devons montrer que le facteur de phase éventuel
est absent. Le vecteur U (R)| r représente physiquement un état propre de
l’opérateur position
R, obtenu à partir de l’état propre | r de
R par une
rotation U (R). Vérifions-le explicitement en utilisant le fait que
R est un
opérateur vectoriel dont les composantes X k se transforment suivant (8.34)
X k [U (R)| r ]=U (R)U
−1 (R)X k U (R)| r
= U (R)
l
R kl X l
| r = U (R)
l
R kl x l
| r
=( R r ) k [U (R)| r ]