9. Moment angulaire
303
d’une matrice de rotation D
(j)
, et que toute matrice commutant avec toutes
les matrices D
(j)
est multiple de la matrice identité.
Le test pour la présence du facteur ± dans (9.28) est donné par l’examen
des rotations de 2π : ce facteur apparaît lorsqu’une rotation de 2π est représentée par l’opérateur −I dans l’espace E(j). Examinons une rotation de 2π
autour de l’axe Oz
jm
′ |U [R z (2π)]|jm = e
−2iπm δ m ′ m = δ m ′ m je n t i e r
= e
−2iπm δ m ′ m = −δ m ′ m jd e m i -entier
Comme le choix de l’axe Oz est arbitraire, l’opérateur de rotation d’angle 2π
vaut I pour j entier et −I pour j demi-entier. En revanche, les opérateurs de
rotation d’angle 4π sont égaux à I pour toute valeur de j. Examinons deux
r o t a t i o n ss u c c e s s i v e sd ’ a n g l e sθ 1 et θ 2 autour d’un axe ˆ
n,a v e c
θ 1 + θ 2 = θ +2πn 0 ≤ θ<2πn entier ≥ 0
Des équations
e
−i(θ1+θ2)
J·ˆ n = e
−iθ(
J·ˆ n)
e
−2iπn(
J·ˆ n) = e
−iθ(
J·ˆ n) j entier
=( −1)
n
e
−iθ(
J·ˆ n) j demi-entier
on déduit que (9.27) est valable pour j entier et (9.28) pour j demi-entier. En
d’autres termes, à toute rotation R correspondent deux opérateurs de rotation
de signe opposé pour j demi-entier, et un seul pour j entier.
Dans le cas du spin 1/2, vérifions que nous retrouvons bien la matrice
D
(1/2) (θ, φ) déjà calculée au chapitre 3. La matrice d
(1/2) (θ) vaut d’après
(3.59)
d
(1/2) (θ)=exp(−iθσ y /2) = cos
θ
2
I − iσ y sin
θ
2
ou sous forme explicite
d
(1/2) (θ)=
cos θ/2 − sin θ/2
sin θ/2c o s θ/2
(9.38)
les lignes et les colonnes étant rangées dans l’ordre m =1/2, −1/2 ; l’équation
(9.33) donne alors la matrice D
(j) (θ, φ)
D
(1/2) (θ, φ)=
e
−iφ/2 cos θ/2 −e
−iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 cos θ/2
en accord avec (3.58).
L am a t r i c ed er o t a t i o nd
(1) (θ) d’un moment angulaire j =1s’obtient à
partir de l’expression (9.24) des générateurs infinitésimaux pour le moment
303
d’une matrice de rotation D
(j)
, et que toute matrice commutant avec toutes
les matrices D
(j)
est multiple de la matrice identité.
Le test pour la présence du facteur ± dans (9.28) est donné par l’examen
des rotations de 2π : ce facteur apparaît lorsqu’une rotation de 2π est représentée par l’opérateur −I dans l’espace E(j). Examinons une rotation de 2π
autour de l’axe Oz
jm
′ |U [R z (2π)]|jm = e
−2iπm δ m ′ m = δ m ′ m je n t i e r
= e
−2iπm δ m ′ m = −δ m ′ m jd e m i -entier
Comme le choix de l’axe Oz est arbitraire, l’opérateur de rotation d’angle 2π
vaut I pour j entier et −I pour j demi-entier. En revanche, les opérateurs de
rotation d’angle 4π sont égaux à I pour toute valeur de j. Examinons deux
r o t a t i o n ss u c c e s s i v e sd ’ a n g l e sθ 1 et θ 2 autour d’un axe ˆ
n,a v e c
θ 1 + θ 2 = θ +2πn 0 ≤ θ<2πn entier ≥ 0
Des équations
e
−i(θ1+θ2)
J·ˆ n = e
−iθ(
J·ˆ n)
e
−2iπn(
J·ˆ n) = e
−iθ(
J·ˆ n) j entier
=( −1)
n
e
−iθ(
J·ˆ n) j demi-entier
on déduit que (9.27) est valable pour j entier et (9.28) pour j demi-entier. En
d’autres termes, à toute rotation R correspondent deux opérateurs de rotation
de signe opposé pour j demi-entier, et un seul pour j entier.
Dans le cas du spin 1/2, vérifions que nous retrouvons bien la matrice
D
(1/2) (θ, φ) déjà calculée au chapitre 3. La matrice d
(1/2) (θ) vaut d’après
(3.59)
d
(1/2) (θ)=exp(−iθσ y /2) = cos
θ
2
I − iσ y sin
θ
2
ou sous forme explicite
d
(1/2) (θ)=
cos θ/2 − sin θ/2
sin θ/2c o s θ/2
(9.38)
les lignes et les colonnes étant rangées dans l’ordre m =1/2, −1/2 ; l’équation
(9.33) donne alors la matrice D
(j) (θ, φ)
D
(1/2) (θ, φ)=
e
−iφ/2 cos θ/2 −e
−iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 sin θ/2
e
iφ/2 cos θ/2
en accord avec (3.58).
L am a t r i c ed er o t a t i o nd
(1) (θ) d’un moment angulaire j =1s’obtient à
partir de l’expression (9.24) des générateurs infinitésimaux pour le moment